Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

118 P' t' t M k k' 6 Kreis und Kugel Grundkompetenzen Kreise in der Ebene durch Gleichungen beschreiben können. Die gegenseitige Lage von Kreisen und Geraden bestimmen und Schnittpunkte eines Kreises mit einer Geraden berechnen können. Eine Gleichung der Tangente in einem Punkt eines Kreises aufstellen können. Kugeln im Raum durch Gleichungen beschreiben können. 6.1 Der Kreis Definition Ein Kreis k mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von M den Abstand r haben. Anhand der nebenstehenden Abbildung erkennt man, dass ein Punkt X genau dann auf dem Kreis k liegt, wenn gilt: _ MX= r bzw. † X – M † = r Da beide Seiten dieser Gleichung positiv sind, erhalten wir durch Quadrieren eine äquivalente Gleichung: (X – M) 2 = r 2 Setzen wir X = (x 1 y) und M = (m 1 1 m 2 ), dann lautet diese Gleichung: (x – m 1 ) 2 + (y – m 2 ) 2 = r 2 Wir haben somit bewiesen: Satz Ist k ein Kreis in einer Ebene mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r, dann gilt: X * k É (X – M) 2 = r 2 bzw. (x 1 y) * k É (x – m 1 ) 2 + (y – m 2 ) 2 = r 2 Der Kreis k kann als Punktmenge dargestellt werden: k = {X * R 2 ‡ (X – M) 2 = r 2 } bzw. k = {(x 1 y) * R 2 ‡ (x – m 1 ) 2 + (y – m 2 ) 2 = r 2 } Wir nennen diese Punktmenge einen Kreis in R 2 . Die Gleichung (X – M) 2 = r 2 bzw. (x – m 1 ) 2 + (y – m 2 ) 2 = r 2 nennt man eine Gleichung des Kreises k . Ist insbesondere M = O = (0 1 0), dann lautet diese: X 2 = r 2 bzw. x 2 + y 2 = r 2 . x y r X M 0 k m 1 m 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv