Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

116 Vor- und Nachteile einer exakteren Fundierung 5 Exaktifizierung der Differentialrechnung Einige Vorteile einer exakteren Fundierung n Bessere Absicherung der Resultate: Intuitive Überlegungen führen gelegentlich doch zu Fehlern oder zu Unklarheiten, die nur durch exaktere Definitionen der Begriffe geklärt werden können (siehe zum Beispiel Aufgabe 5.07 auf Seite 108). n Bessere Mitteilung: Präziser definierte Begriffe können unmiss- verständlicher mitgeteilt werden. Bei an- schaulich-intuitiven Begriffsbildungen be- steht immer die Gefahr, dass verschiedene Personen sich Verschiedenes darunter vor- stellen. n Vertiefung des Verständnisses: Durch genauere Definitionen erkennt man manche Zusammenhänge besser und weiß, was man voraussetzen muss, damit die Re- sultate gelten. Beispielsweise kann man er- kennen, dass aus der Differenzierbarkeit die Stetigkeit folgt, aber nicht umgekehrt (siehe Seite 105). n Kritischere Überprüfung von Anwendungen: In der Praxis der Mathematik wird einer ex- akteren Fundierung oft wenig Bedeutung beigemessen. Man begnügt sich mit einem oberflächlichen Verständnis und hält ein mathematisches Verfahren dann für gesi- chert, wenn es in vielen Fällen funktioniert. Dieses mag in vielen praktischen Bereichen gerechtfertigt sein. Es besteht aber auch die Gefahr, dass aus mangelnder Kenntnis der genaueren Zusammenhänge mathemati- sche Methoden unkritisch angewandt wer- den. n Ästhetik eines logischen Aufbaus: Die Klarheit und Schönheit eines exakteren logischen Aufbaus hat für viele Menschen einen besonderen Reiz. Einige Nachteile einer exakteren Fundierung n Verlust von anschaulich-intuitiven Vorstel- lungen: Der Preis, den man für eine exaktere Fundie- rung zu bezahlen hat, besteht fast immer darin, dass man einige gewohnte Vorstellun- gen aufgeben oder modifizieren muss. Oft bemerkt man erst hinterher, dass man durch eine exaktere Definition eines Begriffs auch Fälle erfasst hat, an die man zunächst nicht gedacht hat, zB an Oszillationsstellen beim Stetigkeitsbegriff (siehe Seite 104). n Kompliziertheit der Darstellung: Begriffsdefinitionen und Argumentationen werden durch Exaktifizierungen meist län- ger und komplexer. Wenn die Darstellungen zu kompliziert werden, kann das ursprüng- lich angestrebte Ziel der Verständniserleich- terung unter Umständen ins Gegenteil verkehrt werden. Durch zu lange, zu kompli- zierte und zu undurchschaubare Darstellun- gen kann die Verständlichkeit wieder ab­ nehmen. Bis ins 18. Jahrhundert haben Mathematiker die Differentialrechnung auch ohne exaktere Be- griffsdefinitionen (zB des Grenzwerts) erfolg- reich angewendet. Viele Naturwissenschaftler, Techniker und andere Anwender arbeiten auch heute noch auf diesem intuitiven Niveau. Es ist also nicht so, dass die intuitiv-anschaulichen Überlegungen allesamt zu falschen Resultaten geführt haben. Im Gegenteil: Die meisten Re- sultate waren richtig. Große Mathematiker zeichnen sich oft dadurch aus, dass sie trotz des Fehlens präziser Begriffsbildungen zu rich- tigen Resultaten kommen. Was bringt also eine exaktere Fundierung? Bei genauerem Hinsehen erkennt man an dieser Vorteile, aber auch Nachteile. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv