Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

113 q 1. A. f p x f(x) U(p) U(q) q 1. A. f p x f(x) U(p) U(q) Als Begründer der Differentialrechnung gelten – nach verschiedenen Vorläufern – vor allem Isaac NEWTON (1643 – 1727) und Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646 – 1716). Dabei ging Newton vom Problem der Geschwindigkeit zu einem speziel- len Zeitpunkt aus, während bei Leibniz das Tangentensteigungsproblem im Vordergrund stand. Beide entwickelten nahezu gleichzeitig, aber unabhängig voneinander, die wichtigsten Differentiationsregeln. Von ihnen und ihren Nach- folgern wurde die Methode der Differentialrech- nung auf Probleme der Naturwissenschaften, ins- besondere der Physik und Astronomie (Berech- nung von Planetenbahnen), erfolgreich ange- wendet. Dies, obwohl die dabei durchgeführten Grenzwertüberlegungen vom heutigen Stand- punkt aus als unexakt angesehen werden können und etwa dem Präzisionsniveau entsprechen, auf dem wir uns in den Kapiteln 2 bis 4 bewegt haben. Newton betrachtet zeitabhängige Größen. Nach seiner Ausdrucksweise „fließt“ eine solche Größe in der Zeit, weshalb er sie als „Fluente“ bezeich- net. Ihre Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t be- zeichnet er als „Fluxion“ und wählt dafür das Symbol x· (t). Newton ermahnt jedoch seine Leser, die „Zeit“ seiner Fluxionsrechnung nicht mit der realen Zeit zu verwechseln, dh. t kann auch ir- gendeine andere kontinuierlich veränderbare Größe sein. Wie Newton bei der Herleitung von Differentia­ tionsregeln vorgeht, erläutern wir am Beispiel von x(t) = t 3 . Er interpretiert x(t) als den in der Zeit t zurückgelegten Weg und betrachtet ein „unendlich kleines“ Zeitintervall [t; t + o]. In die- sem Zeitintervall nimmt er gleichförmige Bewe- gung an. Die Geschwindigkeit in diesem Zeit­ intervall ist dann der Differenzenquotient: ​  x(t + o) – x(t) ___ o  ​= ​  (t + o) 3 – t 3 __  o  ​ Der Zähler dieses Bruchs kann umgeformt werden: (t + o) 3 – t 3 = t 3 + 3t 2 o + 3to 2 + o 3 – t 3 = = 3t 2 o + 3to 2 + o 3 Dividiert man durch o (es ist o ≠ 0 vorausgesetzt), erhält man: ​  (t + o) 3 – t 3 __  o  ​= 3t 2 + 3to + o 2 Setzt man nun nachträglich doch o = 0, ergibt sich die Ableitung: x· (t) = 3t 2 5.4 Historisches zur Differentialrechnung Intuitive Phase der Differentialrechnung Issac NEWTON (1643 –1727) Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646 –1716) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv