Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

112 5 Exaktifizierung der Differentialrechnung Lösung: Sei d(x) =   † x †  _ x  . Wir beweisen indirekt, dass  lim    x ¥ 0 d(x) nicht existiert. Angenommen, es gibt eine reelle Zahl q mit  lim  x ¥ 0 d(x) = q. Dann muss es nach der Grenzwertdefinition speziell zur Umgebung U ε (q) mit ε =   1 _ 2 eine Umgebung U δ (0) geben, sodass für alle x ≠ 0 gilt: x * U δ (0) w d(x) * U   1 _ 2 (q) Eine solche Umgebung U δ (0) gibt es aber nicht, da in jeder Umgebung U δ (0) von 0 verschiedene Stellen x 1 , x 2 liegen, deren Funktionswerte sich um 2 unterscheiden und die daher nicht beide in der Umgebung U   1 _ 2 (q) liegen können. Widerspruch! Aufgaben Vertiefung 5.15 Begründe mit Hilfe der exakteren Grenzwertdefinition und illustriere an einer Skizze! a)   lim   x ¥ 2 (x + 1) = 3 c)   lim   x ¥ 2 2    1 _ 4 x – 4  3 = –   7 _ 2 e)   lim   x ¥ p x = p g)  lim   x ¥ 9 9 _ x= 3 b)   lim  x ¥ 2 2    1 _ 2 x + 2  3 = 3 d)   lim  x ¥ p c = c f)  lim  x ¥ 4 x 2 = 16 h)  lim  x ¥ 3   1 _ x =   1 _ 3 Exaktere Beweise Mit Hilfe der exakteren Grenzwertdefinition kann man auch Beweise exakter führen. Exemplarisch führen wir hier den Beweis der Grenzwertregel (1) vor. Behauptung: Es seien f: A ¥ R und g: A ¥ R reelle Funktionen und p ein Häufungspunkt von A. Falls die Grenzwerte existieren, gilt:  lim    x ¥ p [f(x) + g(x)] =  lim    x ¥ p f(x) +  lim  x ¥ p g(x) Beweis: Es sei  lim    x ¥ p f(x) = a und  lim  x ¥ p g(x) = b. Wir müssen zeigen:  lim    x ¥ p [f(x) + g(x)] = a + b Sei ε eine beliebige positive Zahl. Wegen  lim  x ¥ p f(x) = a kann man zur U   ε  _  2  (a) eine U δ ’(p) finden, sodass für alle x ≠ p gilt: x * U δ ’(p) w f(x) * U   ε  _ 2  (a), dh. a –   ε  _ 2 < f(x) < a +   ε  _ 2 Wegen  lim  x ¥ p g(x) = b kann man zur U   ε  _  2  (b) eine U δ ’’(p) finden, sodass für alle x ≠ p gilt: x * U δ ’’(p) w f(x) * U   ε  _ 2  (b), dh. b –   ε  _ 2 < g(x) < b +   ε  _ 2 Setzen wir U δ (p) = U δ ’ ° U δ ’’, dann gelten für alle x * U δ (p) (mit x ≠ p) beide Ungleichungsketten. Durch Addition dieser Ungleichungsketten folgt: 2 a –   ε  _ 2   3 + 2 b –   ε  _ 2   3 < f(x) + g(x) < 2 a +   ε  _ 2   3 + 2 b +   ε  _ 2   3 a + b – ε < f(x) + g(x) < a + b + ε f(x) + g(x) * U ε (a + b) Für alle x ≠ p gilt also: x * U δ (p) w f(x) + g(x) * U ε (a + b). Somit ist  lim    x ¥ p [f(x) + g(x)] = a + b.  0 δ 1. A. – δ 1 –1 d d 2. A. x 2 x 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv