Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

111 5.3 Exaktifizierung des Grenzwertbegriffs Exaktere Grenzwertnachweise Mit Hilfe der exakteren Grenzwertdefinition kann man Grenzwerte, die wir bisher nur intuitiv berechnet haben, besser absichern. In den folgenden Aufgaben geht es nicht darum, einen Grenzwert zu finden , sondern eine vorgegebene Grenzwertbehauptung zu beweisen . Dazu ist jeweils zu zeigen, dass die Definition des Grenzwerts erfüllt ist (dh. dass es zu jeder ​U​ ε ​  (q) eine geeignete ​U​ δ ​  (p) gibt). Zum Nachweis von ​ lim    x ¥ p​ ​f(x) = q geht man in zwei Schritten vor: 1. Schritt: Man gibt eine beliebige positive Zahl ε vor. 2. Schritt: Man zeigt, dass sich zur ​U​ ε ​  (q) eine geeignete ​U​ δ ​  (p) finden lässt. 5.12 Sei f(x) = 2x – 2. Beweise: ​ lim    x ¥ 3​ ​f(x) = 4 Lösung: Sei ε eine beliebige positive Zahl. Dann gilt für alle x ≠ 3: f(x) * ​ U​ ε ​  (4)  É  4 – ε < f(x) < 4 + ε É É  4 – ε < 2x – 2 < 4 + ε É É  6 – ε < 2x < 6 + ε É É  3 – ​  ε  _ 2 ​< x < 3 + ​  ε  _ 2 ​ É É  x * ​ U​ ​  ε  _  2 ​ ​ (3) Wählen wir δ = ​  ε  _ 2 ​ , dann gilt also für alle x ≠ 3: x * ​ U​ δ ​  (3)  w  f(x) * ​ U​ ε ​  (4) Somit ist ​ lim   x ¥ 3​ ​f(x) = 4. 5.13 Sei f(x) = x 2 . Beweise: ​ lim    x ¥ 2​ ​x 2 = 4 Lösung: Sei ε eine beliebige positive Zahl. Dann gilt für alle x ≠ 2: f(x) * ​ U​ ε ​  (4)  É  4 – ε < f(x) < 4 + ε É É  4 – ε < x 2 < 4 + ε É É  ​ 9 ___ 4 – ε​ < x < ​ 9 ___ 4 + ε​ Wählen wir δ so klein, dass die Umgebung ​U​ δ ​  (2) ganz im Intervall ]​ 9 ___ 4 – ε​ , ​ 9 ___ 4 + ε​  [ liegt, dann gilt für alle x ≠ 2: x * ​ U​ δ ​  (2)  w  f(x) * ​ U​ ε ​  (4) Somit ist ​ lim   x ¥ 2​ ​x 2 = 4. Bemerkung: Bei dieser Argumentation müssen wir ε ª 4 voraussetzen, weil unter der Wurzel keine negative Zahl stehen darf. Dies ist jedoch keine wesentliche Einschränkung. Denn wenn wir zu jedem ε ª 4 eine geeignete ​U​ δ ​  (2) finden können, dann erst recht zu jedem ε > 4. 5.14 (Fortsetzung von 5.07) Für die Funktion f mit f(x) = † x † gilt: f’(0) = ​ lim  x ¥ 0​ ​​  f(x) – f(0) __  x – 0  ​= ​ lim  x ¥ 0​ ​​  † x †  _ x  ​ . In Aufgabe 5.07 konnten wir nicht klären, ob dieser Limes existiert oder nicht. Beweise jetzt mit Hilfe der exakteren Grenzwertdefinition, dass er nicht existiert und dass somit f an der Stelle 0 keine Ableitung besitzt! 2. A. 1. A. f 3 3 + δ 3 – δ 4 4 + ε 4 – ε 0 2. A. 1. A. f 2 2 + δ 2 – δ 4 4 + ε 4 – ε 9 ___ 4 – ε 9 ___ 4 + ε 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv