Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

110 5 Exaktifizierung der Differentialrechnung Berücksichtigt man noch, dass p eine Häufungsstelle von A sein muss und f an der Stelle p nicht definiert sein muss, ergibt sich die folgende Definition: Definition Grenzwert einer Funktion: Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und p eine Häufungsstelle von A. Die Zahl q heißt Grenzwert von f an der Stelle p , geschrieben ​  lim    x ¥ p​ ​f(x) = q , wenn gilt: Zu jeder Umgebung ​U​ ε ​  (q) gibt es eine Umgebung ​U​ δ ​  (p), sodass für alle x ≠ p (mit x * A) gilt: x * ​U​ δ ​  (p)  w  f(x) * ​U​ ε ​  (q) Aufgaben Vertiefung 5.09 Zeichne zur vorgegebenen Umgebung ​U​ ε ​  (q) eine Umgebung ​U​ δ ​  (p) so ein, dass für alle x ≠ p gilt: x * ​ U​ δ ​  (p)  w  f(x) * ​ U​ ε ​  (q)! a) b) c) 5.10 Zeichne in der nebenstehenden Abbildung zur vorgegebenen Umgebung ​U​ ε ​  (q) eine Umgebung ​U​ δ ​  (p) so ein, dass für alle x ≠ p gilt: x * ​ U​ δ ​  (p)  w  f(x) * ​ U​ ε ​  (q)! 5.11 Zeige, dass  a) in Abb. 5.2,  b) in Abb. 5.3 nicht ​ lim    x ¥ p​ ​f(x) = q gelten kann! Zeichne dazu eine Umgebung ​U​ ε ​  (q) ein, zu der man keine Umgebung ​U​ δ ​  (p) finden kann, sodass für alle x ≠ p gilt: x * ​ U​ δ ​  (p)  w  f(x) * ​ U​ ε ​  (q) Abb. 5.2 Abb. 5.3 2. A. q q + ε q – ε 1. A. f p x f(x) U δ (p) p – δ p + δ 0 U ε (q) 2. A. 1. A. p f U ε (q) 0 2. A. 1. A. p f U ε (q) 0 2. A. 1. A. p f U ε (q) 0 2. A. 1. A. p f U ε (q) 0 1. A. 2. A. p f q 0 1. A. 2. A. p f q 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv