Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

109 q 1. A. f p x f(x) U(p) U(q) 5.3 Exaktifizierung des Grenzwertbegriffs Im Symbol ​ lim    x ¥ p​ ​f(x) muss vorausgesetzt werden, dass p eine Häufungsstelle der Definitionsmenge A der Funktion f ist. Da eine Häufungsstelle nicht unbedingt zu A gehören muss, braucht f an der Stelle p nicht unbedingt definiert zu sein. Beispiel: Ist f differenzierbar, dann ist die Differenzenquotientenfunktion d mit d(x) = ​  f(x) – f(p) __ x – p  ​ an der Stelle p nicht definiert, trotzdem kann man vom Grenzwert ​ lim    x ¥ p​ ​d(x) = f’(p) sprechen. Aufgaben Vertiefung 5.08 Ist p eine Häufungsstelle von A? Wenn nicht, begründe warum! a) c) e) b) d) f) Exaktere Definition des Grenzwerts Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und p eine Häufungsstelle von A. Die Aussage ​  lim    x ¥ p​ ​f(x) = q haben wir bisher so gedeutet: f(x) nähert sich unbegrenzt der Zahl q, wenn sich x unbegrenzt der Zahl p nähert. Dies kann man auch so formulieren: Wie klein man auch eine Umgebung U(q) von q wählt, stets lässt sich eine Umgebung U(p) finden, sodass gilt: x * U(p)  w  f(x) * U(q) Dies ist in den folgenden Abbildungen veranschaulicht: Man kann dabei voraussetzen, dass die Umgebungen symmetrisch um q bzw. p liegen. Wir bezeichnen diese Umgebungen folgendermaßen: ​ U​ ε ​  (q) = {y * R ‡ q – ε < y < q + ε } (Epsilon-Umgebung von q; ε > 0) ​ U​ δ ​  (p) = {x * R ‡ p – δ < x < p + δ } (Delta-Umgebung von p; δ > 0) A p A p A p A A p A p A A p Ó 2. A. q 1. A. f p x 0 f(x) U(p) U(q) 2. A. q 1. A. f p x f(x) U(p) U(q) 0 2. A. q 1. A. f p x f(x) U(p) U(q) 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv