Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

107 5.2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 5.05 1) Beweise mit Hilfe des Zwischenwertsatzes: Ist f: [a; b] ¥ R stetig und streng monoton steigend, dann ist die Menge der Funktionswerte von f ein abgeschlossenes Intervall. 2) Gilt dies auch, wenn die Stetigkeit von f nicht vorausgesetzt wird? Beweise oder widerlege durch ein Gegenbeispiel! 5.06 Es sei f: [a; b] ¥ R und f(a) ª f(b). Außerdem gebe es zu jeder Zahl q mit f(a) ª q ª f(b) eine Zahl p * [a; b] mit f(p) = q. Kann daraus geschlossen werden, dass f stetig in [a; b] ist? Beweise oder widerlege durch ein Gegenbeispiel! Einige Sätze über differerenzierbare Funktionen Für die Untersuchung von Polynomfunktionen haben wir im Kapitel 3 verschiedene Sätze ver- wendet (Monotoniesatz, Krümmungssatz usw.). Im Kapitel 4 haben wir diese Sätze auch auf andere Funktionstypen angewendet (rationale Funktionen, Potenzfunktionen mit reellen Expo- nenten, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Winkelfunktionen). Man kann beweisen, dass diese Sätze für alle reellen Funktionen gelten, die entsprechend oft differenzierbar sind und stetige Ableitungen haben. Da diese Voraussetzungen von allen angeführten Funktionstypen erfüllt werden, ist die Anwendung dieser Sätze nachträglich gerechtfertigt. In allgemeiner Form lauten diese Sätze: Satz Monotoniesatz: Die reelle Funktion f sei differenzierbar im Intervall I. (1) f’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I  w f streng monoton steigend in I (2) f’(x) < 0 für alle inneren Stellen x * I  w f streng monoton fallend in I (3) f’(x) º 0 für alle inneren Stellen x * I  É f monoton steigend in I (4) f’(x) ª 0 für alle inneren Stellen x * I  É f monoton fallend in I Satz Krümmungssatz: Die reelle Funktion f sei zweimal differenzierbar im Intervall I. (1) f’’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I  w f ist linksgekrümmt in I. (2) f’’(x) < 0 für alle inneren Stellen x * I  w f ist rechtsgekrümmt in I. Satz Notwendige Bedingung für lokale Extremstellen: Die reelle Funktion f sei differenzierbar. Ist p eine lokale Extremstelle von f, dann ist f’(p) = 0. Satz Hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen: Sei f eine in einem Intervall I definierte, zweimal differenzierbare reelle Funktion mit stetiger zweiter Ableitung und p eine innere Stelle von I. (1) f’(p) = 0 und f’’(p) < 0  w p ist lokale Maximumstelle von f. (2) f’(p) = 0 und f’’(p) > 0  w p ist lokale Minimumstelle von f. Satz Notwendige Bedingung für Wendestellen: Die reelle Funktion f sei zweimal differenzierbar. p ist Wendestelle von f  w  f’’(p) = 0 Satz Hinreichende Bedingung für Wendestellen: Sei f eine in einem Intervall I definierte, dreimal differenzierbare reelle Funktion mit stetiger dritter Ableitung und p eine innere Stelle von I. f’’(p) = 0 und f’’’(p) ≠ 0  w p ist Wendestelle von f. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv