Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

106 5 Exaktifizierung der Differentialrechnung Einige Sätze über stetige Funktionen Reelle Funktionen, die in einem abgeschlossenen Intervall stetig sind, haben bemerkenswerte Eigenschaften. Die folgenden Sätze sind anschaulich einleuchtend. Die aufwändigen Beweise führen wir jedoch nicht durch. Satz Maximum-Minimum-Satz : Ist eine reelle Funktion stetig in einem abgeschlossenen Intervall [a; b], dann gibt es in [a; b] mindestens eine Maximumstelle un d mindestens eine Minimumstelle von f. Satz Nullstellensatz: Ist die reelle Funktion f stetig in einem abgeschlossenen Intervall [a; b] und ist f(a) º 0 und f(b) ª 0 [oder f(a) ª 0 und f(b) º 0], dann besitzt f mindestens eine Nullstelle in [a; b]. Dieser Satz lässt sich verallgemeinern: Satz Zwischenwertsatz: Ist die reelle Funktion f stetig in einem abgeschlossenen Intervall [a; b] und ist f(a) º q und f(b) ª q [oder f(a) ª q und f(b) º q], dann gibt es mindestens eine Stelle p * [a; b] mit f(p) = q . Satz Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Ist die reelle Funktion f stetig in [a; b] und differenzierbar in ]a; b[ , dann gibt es eine Stelle p * ]a; b[ mit f’(p) = ​  f(b) – f(a) __ b – a  ​  . (Das bedeutet, dass es zwischen a und b mindestens eine Stelle p gibt, an der die Steigung der Tangente an den Graphen von f gleich der Steigung der Sekante durch die Punkte (a 1 f(a)) und (b 1 f(b)) und somit die Tangente parallel zur Sekante ist.) Beachte , dass im Mittelwertsatz die Voraussetzung der Differenzierbarkeit wesentlich ist! Die nebenstehend dargestellte Funktion f ist in [a; b] stetig und nur an einer einzigen Stelle c * ]a; b[ nicht differenzierbar. Dies bewirkt bereits, dass es keine Stelle in ]a; b[ gibt, an der die Tangente parallel zur Sekante ist. Aufgaben Vertiefung 5.04 Beweise, dass die Menge der Funktionswerte der Funktion f ein Intervall ist! (Zeige dazu mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass jede Zahl, die zwischen den Extremwerten von f liegt, ein Funktionswert ist!) Gib das Intervall an! Skizze! a) f: [2; 6] ¥ R mit f(x) = x 3 – 12x 2 + 36x – 15 b) f: [1; 2] ¥ R mit f(x) = 18x 2 – x 4 a b f 0 a b f f(a) f(b) 0 a p b f f(a) q f(b) 0 a p b f f(b) f(a) 0 Ó 598s9c a c b f(b) f(a) f 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv