Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

105 5.2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit Differenzierbarkeit Die Ableitung einer Funktion muss nicht unbedingt existieren. Wir werden beispielsweise im Abschnitt 5.3 zeigen, dass die neben stehend dargestellte Funktion f mit f(x) = † x † an der Stelle 0 keine Ableitung besitzt und dass deshalb der Graph von f im Nullpunkt O keine Tangente besitzt. Deshalb ist es gerechtfertigt, den Funktionen, deren Ableitung existiert, einen eigenen Namen zu geben. Definition Differenzierbarkeit: (1) Eine reelle Funktion f: A ¥ R heißt an der Stelle p * A differenzierbar , wenn f’(p) =lim    x ¥ p   f(x) – f(p) __ x – p  existiert. (2) Die Funktion f heißt (schlechthin) differenzierbar , wenn sie an jeder Stelle p * A differenzierbar ist. Dass eine Funktion f an einer Stelle p nicht differenzierbar ist, merkt man im Allgemeinen daran, dass der Graph von f an der Stelle p eine Ecke (einen Knick ) hat. Der Graph besitzt an einer solchen Stelle keine Tangente. Aus den Herleitungen der entsprechenden Ableitungsregeln folgt: Satz Differenzierbarkeit elementarer Funktionen: Die folgenden Funktionen sind in ihrem jeweiligen Definitionsbereich differenzierbar: � Potenzfunktionen � Exponentialfunktionen � Polynomfunktionen � Logarithmusfunktionen � rationale Funktionen � Winkelfunktionen Zusammenhang von Differenzierbarkeit und Stetigkeit Satz Ist eine reelle Funktion f: A ¥ R an einer Stelle p * A differenzierbar, dann ist f an der Stelle p stetig. Beweis: Sei f an der Stelle p * A differenzierbar. Es gilt für alle x * A, wie man durch Kürzen leicht sieht: f(x) = f(p) +   f(x) – f(p) __ x – p  · (x – p) Daraus folgt nach den Grenzwertregeln:  lim   x ¥ p f(x) =  lim  x ¥ p f(p) +  lim    x ¥ p   f(x) – f(p) __  x – p  ·  lim  x ¥ p (x – p) = f(p) + f’(p)·0 = f(p) Somit ist f an der Stelle p stetig.  Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Aus der Stetigkeit folgt nicht unbedingt die Differenzier- barkeit. Zum Beispiel ist die Funktion f mit f(x) = † x † an der Stelle 0 stetig, aber an dieser Stelle nicht differenzierbar. Merke Aus der Differenzierbarkeit folgt die Stetigkeit, aber nicht umgekehrt. 0 1 x –1 1 f f(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv