Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

104 5 Exaktifizierung der Differentialrechnung Beispiel: Wir betrachten die Funktion f mit f(x) = ​ {  ​  sin ​  1 _ † x †  ​ für x ≠ 0 0         für x = 0 ​ ​ ​ Der Grenzwert ​ lim  x ¥ 0​ ​f(x) existiert nicht, denn f nimmt in jeder beliebigen Nähe von 0 sowohl den Wert 1 als auch den Wert –1 an. Die Funktion ist also an der Stelle 0 unstetig, obwohl die Stelle 0 keine Sprungstelle ist. Eine solche Stelle bezeichnet man als Oszillationsstelle von f. 5.01 Begründe: 1) Jede Potenzfunktion f mit f(x) = c·x n und natürlichem Exponenten n ist stetig. 2) Jede Polynomfunktion mit f(x) = a n ·x n + a n – 1 ·x n – 1 + … + a 0 ist stetig. 3) Jede rationale Funktion ist (in ihrem Definitionsbereich) stetig. Lösung: 1) Nach den Grenzwertregeln gilt an jeder Stelle p * R : ​ lim   x ¥ p​ ​f(x) = ​ lim    x ¥ p​ ​(c · x n ) = ​ lim    x ¥ p​ ​(c · x · x ·…· x) = ​ lim    x ¥ p​ ​c · ​ lim    x ¥ p​ ​x · ​ lim    x ¥ p​ ​x ·…· ​ lim    x ¥ p​ ​x = 122222234222225 1222222222222223422222222222225 n Faktoren n Faktoren   = c · p · p ·…· p = c · p n = f(p) 12222222342222225 n Faktoren 2) Nach den Grenzwertregeln und nach 1) gilt an jeder Stelle p * R : ​ lim    x ¥ p​ ​f(x) = ​ lim    x ¥ p​ ​(a n  · x n + a n – 1  · x n – 1 + … + a 0 ) = ​ lim    x ¥ p​ ​(a n  · x n ) + ​ lim  x ¥ p​ ​(a n – 1  · x n – 1 ) + … + ​ lim    x ¥ p​ ​a 0 = = a n  · p n + a n – 1  · p n – 1 + … + a 0 = f(p) 3) Eine rationale Funktion ist von der Form f(x) = ​  g(x) _ h(x) ​ , wobei g(x) und h(x) Polynome sind. Nach den Grenzwertregeln und nach 2) gilt an jeder Stelle p aus dem Definitionsbereich von f: ​ lim    x ¥ p​ ​f(x) = ​ lim    x ¥ p​ ​ ​  g(x) _ h(x) ​= ​  ​ lim   x ¥ p​ ​g(x) __  ​ lim   x ¥ p​ ​h(x) ​= ​  g(p) _ h(p) ​= f(p) Man kann sogar mehr zeigen: Satz Stetigkeit elementarer Funktionen: Die folgenden Funktionen sind in ihrem jeweiligen Definitionsbereich stetig: � Potenzfunktionen � rationale Funktionen � Exponentialfunktionen � Polynomfunktionen � Winkelfunktionen � Logarithmusfunktionen Aufgaben Grundkompetenzen 5.02 Zeige, dass die Funktion f mit f(x) = † x † an der Stelle 0 stetig ist! (Argumentiere mit unbegrenztem Nähern!) 5.03 Nebenstehend ist der Graph der Funktion f: R * ¥ R mit f(x) = ​  1 _ x ​ dargestellt. 1) Ist 0 eine Unstetigkeitsstelle von f? Begründe! 2) Ist f stetig? Begründe! 3) Ist eine rationale Funktion an einer Polstelle unstetig? Begründe! 1 x f(x) 1 –1 –1 0 f 2 f(x) 2 4 0 x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv