Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

103 q 1. A. f p x f(x) U(p) U(q) q 1. A. f p f(x) U(p) U(q) q 1. A. f p x f(x) U(p) U(q) 5.2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit Stetigkeit Manchmal schließt man so: Ist f(a) > 0 und f(b) < 0, dann besitzt f mindestens eine Nullstelle zwischen a und b (siehe Abb. 5.1 a). Dieser Schluss ist aber für Sprungfunktionen nicht immer gerechtfertigt (siehe Abb. 5.1 b). Abb. 5.1 a   Abb. 5.1 b Bei manchen Argumentationen müssen also Sprungfunktionen ausgeschlossen werden. Funktionen, deren Graphen keine Sprünge aufweisen, zählt man zu den stetigen Funktionen . Wie kann der Begriff der Stetigkeit exakter definiert werden? Wir betrachten dazu die folgenden drei Funktionen: f 1  (x) = x + 1 f 2  (x) = ​ {  ​  x + 1 2 ​ ​ ​​  für x ≠ 0 für x = 0 ​ f 3  (x) = ​ {  ​  x + 1 x ​ ​ ​​  für x < 0 für x º 0 ​ ​ lim    x ¥ 0​ ​f 1  (x) = 1 = f 1  (0) ​ lim    x ¥ 0​ ​f 2  (x) = 1 ≠ f 2  (0) ​ lim  x ¥ 0​ ​f 3  (x) existiert nicht Von diesen Funktionen werden wir nur die Funktion f 1 an der Stelle 0 stetig nennen, da die anderen beiden an der Stelle 0 einen Sprung aufweisen. Dies legt folgende Definition nahe: Definition Stetigkeit: (1) Eine reelle Funktion f: A ¥ R heißt an der Stelle p * A stetig , wenn ​  lim    x ¥ p​ ​f(x) = f(p) ist. (2) Die Funktion f: A ¥ R heißt (schlechthin) stetig , wenn sie an jeder Stelle p * A stetig ist. Ist eine Funktion f an einer Stelle p nicht stetig (unstetig), so kann dies zweierlei bedeuten: „„ ​ lim   x ¥ p​ ​f(x) existiert, ist aber von f(p) verschieden (wie bei der obigen Funktion f 2 ). „„ ​ lim   x ¥ p​ ​f(x) existiert nicht (wie bei der obigen Funktion f 3 ). Der Begriff der Stetigkeit ist ein gutes Beispiel dafür, dass man bei der Definition eines mathematischen Begriffs nicht immer genau das erfasst, woran man ursprünglich gedacht hat. Bei einer Unstetigkeitsstelle haben wir bisher nur an eine Sprungstelle gedacht. Es gibt aber auch Unstetigkeitsstellen anderer Art, wie das folgende Beispiel zeigt: f(x) a b x f f 0 f(x) a b x f 0 1 f 1 (x) 1 2 –1 –1 0 x f 1 1 f 2 (x) 1 2 –1 –1 0 x f 2 1 f 3 (x) 1 2 –1 –1 0 x f 3 f 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv