Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

102 q 1. A. f p x f(x) U(p) U(q) q 1. A. f p x f(x) U(p) U(q) 5 Exaktifizierung der Differentialrechnung Grundkompetenzen Grenzwertregeln kennen. Die Begriffe der Stetigkeit und Differenzierbarkeit und deren Zusammenhang kennen. Arten von Unstetigkeitsstellen kennen. 5.1 Grenzwertregeln Einen Grenzwert wie beispielsweise  lim    x ¥ 2 (x 2 + 3x) haben wir bisher im Prinzip so berechnet:  lim  x ¥ 2 (x 2 + 3x) =  lim    x ¥ 2 (x · x) +  lim  x ¥ 2 (3 · x) =  lim    x ¥ 2 x ·  lim   x ¥ 2 x +  lim   x ¥ 2 3 ·  lim   x ¥ 2 x = 2·2 + 3·2 = 10 Dabei haben wir intuitiv die folgenden Regeln angewendet: Satz Grenzwertregeln: Es seien f: A ¥ R und g: A ¥ R reelle Funktionen. Falls die Grenzwerte existieren, gilt: (1)  lim    x ¥ p [f(x) + g(x)] =  lim  x ¥ p f(x) +  lim    x ¥ p g(x) (2)  lim    x ¥ p [f(x) – g(x)] =  lim    x ¥ p f(x) –  lim    x ¥ p g(x) (3)  lim    x ¥ p [f(x) · g(x)] =  lim    x ¥ p f(x) ·  lim    x ¥ p g(x) (4)  lim    x ¥ p   f(x) _  g(x) =    lim   x ¥ p f(x) __  lim   x ¥ p g(x) (sofern g(x) ≠ 0 in einer Umgebung von p und  lim    x ¥ p g(x) ≠ 0) Als wichtiger Spezialfall der Regel (3) ergibt sich: Satz Grenzwertregel für einen konstanten Faktor:   lim   x ¥ p [c · f(x)] = c ·  lim    x ¥ p f(x) Beweis: Nach der Grenzwertregel (3) gilt:  lim  x ¥ p [c · f(x)] =  lim    x ¥ p c ·  lim    x ¥ p f(x) = c ·  lim    x ¥ p f(x)  Die Grenzwertregeln (1) und (3) lassen sich auf mehr als zwei Funktionen verallgemeinern: (1’)  lim   x ¥ p [f 1 (x) + f 2 (x) + … + f n (x)] =  lim    x ¥ p f 1 (x) +  lim    x ¥ p f 2 (x) + … +  lim  x ¥ p f n (x) (3’)  lim    x ¥ p [f 1 (x) · f 2 (x) ·…· f n (x)] =  lim    x ¥ p f 1 (x) ·  lim  x ¥ p f 2 (x) ·…·  lim  x ¥ p f n (x) Beispiel:  lim    x ¥ 0 [3(x + e x )] = 3 ·  lim    x ¥ 0 (x + e x ) = 3 · 2   lim    x ¥ 0 x +  lim   x ¥ 0 e x 3 = 3 · (0 + 1) = 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv