Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

101 0 g – c 4.7 Kontrolle: Grundwissen und Grundkompetenzen Grundwissen „ 4.95 Gib Ableitungsregeln für die Sinus- und Cosinusfunktion an! „ 4.96 Gib Ableitungsregeln für Exponentialfunktionen an! „ 4.97 Gib eine Ableitungsregel für die Funktion g mit g(x) = f(k · x) an und erläutere sie an einem Beispiel! „ 4.98 Was versteht man unter einer rationalen Funktion? Mit welcher Regel kann man ihre Ableitung bilden? „ 4.99 Schreibe eine Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte dieses Kapitels in knapper Form! Grundkompetenzen „ 4.100 Bilde der Reihe nach die erste, zweite, dritte, … Ableitung von  a) f(x) = sin x,  b) f(x) = cos x! Was fällt auf? „ 4.101 Ermittle f’(x) für a * R *! a) f(x) = sin(a · x) b) f(x) = sin ​ 2 ​  x _ a ​  3 ​ c) f(x) = cos(a · x) d) f(x) = cos ​ 2 ​  x _ a ​  3 ​ „ 4.102 Ermittle f’(x) für k * R *! a) f(x) = e kx b) f(x) = e –kx c) f(x) = 1,5 kx d) f(x) = –1,5 –kx „ 4.103 Ein radioaktiver Zerfallsprozess verläuft nach dem Gesetz N(t) = 1 000 · e –0,0227261 · t  (t in Minuten). 1) Stelle eine Formel für die Zerfallsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t auf? 2) Wie groß ist die Zerfallsgeschwindigkeit (in Atome/min) nach 5, 10 bzw. 20min? 3) Nimmt die Zerfallsgeschwindigkeit mit zunehmender Zeit zu, ab oder bleibt sie gleich? „ 4.104 Die Elongation einer harmonischen Schwingung zum Zeitpunkt t sei gegeben durch: s(t) = 3· sin (2t) (s(t) in Meter, t in Sekunden). a) Wie groß ist die Amplitude der Schwingung? b) Wie groß ist die Frequenz der Schwingung? c) Wie groß ist die Schwingungsdauer der Schwingung? d) Stelle eine Formel für die Geschwindigkeit des schwingenden Körpers zum Zeitpunkt t auf! Wie groß ist diese Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 bzw. t = ​  π  _ 2 ​? e) Stelle eine Formel für die Beschleunigung des schwingenden Körpers zum Zeitpunkt t auf! Wie groß ist diese Beschleunigung zum Zeitpunkt t = 0 bzw. t = ​  π  _  2 ​? „ 4.105 Zeige, dass für die folgende Funktion f gilt: f(x) + f’’(x) = 0 a) f(x) = a · sin x + b · cos x (mit a, b * R ) b) f(x) = a · sin x – b · cos x (mit a, b * R ) „ 4.106 Ermittle (falls vorhanden) die Polstellen, Nullstellen und lokalen Extremstellen der Funktion f und skizziere ihren Graphen! Wie verhält sich f(x) für x ¥ • bzw. x ¥ – • ? a) f(x) = x – ​  1 _ x ​ c) f(x) = x + ​  1 _  x 2 ​ b) f(x) = x – ​  1 _  x 2 ​ d) f(x) = ​  x – 1 _ x + 1 ​ ú  Selbstkontrolle, S.255 Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv