Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

10 b – a f(a) = s(a) a s 1.2 Nullstellen von Polynomfunktionen Polynomfunktionen haben wir schon in Mathematik verstehen 5, Seite 173 kennengelernt. Wir wiederholen die Definition: Definition Eine reelle Funktion f mit f(x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 (mit n * N , a n  , a n – 1  , …, a 0 * R und a n ≠ 0) heißt Polynomfunktion vom Grad n . Häufig sind jene Stellen von Interesse, an denen die Funktion f den Wert 0 annimmt: Definition Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion. Eine Stelle α * A heißt Nullstelle von f , wenn f( α ) = 0 ist. Beachte: „„ Eine reelle Zahl α ist genau dann Nullstelle der Funktion f, wenn α Lösung der Gleichung f(x) = 0 ist. „„ Eine Nullstelle α ist vom Punkt ( α 1 0) zu unterscheiden. Da eine Gleichung vom Grad n höchstens n Lösungen haben kann, kann eine Polynomfunktion vom Grad n höchstens n Nullstellen besitzen. Wir halten dies fest: Satz Eine Polynomfunktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Aufgaben Grundkompetenzen 1.15 Ermittle alle Nullstellen von f! a) f(x) = 3x + 7 d) f(x) = (x – 12)(x – 3) g) f(x) = x 3 + 1 b) f(x) = – 4x + 11 e) f(x) = x 2 + x – 12 h) f(x) = x 3 – a (a > 0) c) f(x) = x 2 – 9x + 8 f) f(x) = 2(x – 6)(x + 5) i) f(x) = x(x 2 + 1) Aufgaben Vertiefung 1.16 Zeige, dass α eine Nullstelle von f ist und ermittle alle weiteren Nullstellen von f! a) f(x) = x 3 + 2x 2 – x – 2,  α = – 2 c) f(x) = x 3 + 4x 2 – 3x – 18,  α = 2 b) f(x) = 2x 3 – 5x 2 + 4x – 1,  α = ​  1 _ 2 ​ d) f(x) = x 3 – ​  1 _ 2 ​x 2 – ​  1 _ 4 ​x + ​  1 _ 8 ​ ,  α = ​  1 _ 2 ​ 1.17 Zeige, dass α eine Nullstelle von f ist und ermittle alle weiteren Nullstellen von f! a) f(x) = x 3 – 7x + 6,  α = 1 c) f(x) = x 4 – 2x 3 – 3x 2 + 4x + 4,  α = 2 b) f(x) = x 4 – 9x 2 – 4x + 12,  α = – 2 d) f(x) = x 5 + 3x 3 – 4x,  α = –1 1.18 Die Funktion f hat eine ganzzahlige Nullstelle im Intervall [–4; 4]. Ermittle alle Nullstellen von f! a) f(x) = x 3 – x 2 – 14x + 24 d) f(x) = 4x 3 – 16x – 60 b) f(x) = 2x 3 – x 2 – 17x – 14 e) f(x) = x 3 – 2x 2 – x + 2 c) f(x) = x 3 + x 2 + x + 1 f) f(x) = 9x 3 + 6x 2 + x 1.19 Zeige, dass α 1 und α 2 Nullstellen von f sind und ermittle alle weiteren Nullstellen von f! a) f(x) = 2x 4 – x 3 – 14x 2 + 19x – 6,  α 1 = 1,  α 2 = 2 b) f(x) = 4x 4 + 16x 3 – 21x 2 – 4x + 5,  α 1 = 1,  α 2 = – 5 Ó Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv