Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

72 240 Ein fairer Spielwürfel wird n-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable X zählt dabei, wie oft die Zahl 3 geworfen wurde. Ermittle, wie oft der Würfel mindestens geworfen werden muss, damit die Verteilung von X durch eine Normalverteilung approximiert werden darf. 241 Ein Test besteht aus 50 Multiple-Choice-Aufgaben. Für jede Frage gibt es drei vorgegebene Antworten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass man bei rein zufälligem Ankreuzen … a. … alle Fragen richtig beantwortet. b. … alle Fragen falsch beantwortet. c. … genau 20 Fragen richtig beantwortet. d. … mindestens 25 Fragen richtig beantwortet (Note „Genügend“). e. … mindestens 45 Fragen richtig beantwortet (Note „Sehr gut“). Hinweis: Überlege zunächst, bei welchen dieser Aufgaben eine Approximation durch die Normal- verteilung sinnvoll ist. 242 In einem Flugzeug gibt es 350 Plätze. Erfahrungsgemäß treten 4% aller, die einen Platz reserviert haben, ihren Flug nicht an. Berechne, wie viele Reservierungen entgegengenommen werden dür- fen, damit mit 95% Wahrscheinlichkeit alle Kommenden Platz haben. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der tatsächlich kommenden Fluggäste an, wenn n Reser- vierungen vorliegen. Dann ist X binomialverteilt mit (unbekanntem) n und p = 0,96. Wir berechnen μ = n·0,96 = 0,96n und σ = 9 _______ n·0,96·0,04 = 9 _____ 0,0384n . Da n auf jeden Fall größer als 350 ist, ist σ > 9 ______ 0,0384·350 ≈ 3,67, also σ > 3 und wir können mit der Normalverteilung approximieren. Gefordert ist P(X ª 350) = 0,95. P(X ª 350) = Φ 2 350 – μ _ σ 3 = Φ 2 350,5 – 0,96n __ 9 __ __ 0,0384n 3 = 0,95 Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung entnehmen wir 0,95 = Φ (1,645), also ist 350,5 – 0,96n __ 9 __ __ 0,0384n = 1,645. Als Lösung dieser Gleichung erhalten wir n ≈ 358,74. Da n ª 358,74 sein muss, runden wir ab und formulieren: Es können 358 Plätze vergeben werden. 243 Ein Reiseveranstalter weiß aus Erfahrung, dass ca. 10% aller reservierten Hotelzimmer letztendlich nicht in Anspruch genommen werden. a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es bei einer Buchung von 550 Zimmern eines Hotels, das eigentlich nur 500 Zim- mer hat, zu Problemen wegen Überbelegung kommen wird. b. Wie viele Zimmer kann man in diesem Hotel vermitteln, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass es zu einer Überbelegung kommt, kleiner als 10% sein soll? Berechne. 244 Erfahrungsgemäß bleiben in einer bestimmten Hotelanlage mit 400 Zimmern durchschnittlich 3% der gebuchten Zimmer unbenutzt, weil die Gäste ihre Reise aus den verschiedensten Grün- den stornieren. Aus diesem Grund entschließt sich die Hotelleitung, das Hotel zu „überbuchen“. Das heißt, es sollen mehr Zimmer an die Gäste vermittelt werden, als es tatsächlich gibt. a. In einem ersten Schritt vermittelt man einfach um 3% mehr Zimmer als wirklich vorhanden sind. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es zu Problemen kommt, weil schließlich doch mehr als 400 Zimmer belegt würden. b. Berechne, wie viele Zimmer man maximal vermitteln darf, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass es zu einer Überbelegung kommt, kleiner als 5% sein soll. A, B , , A, B ggb/xls km9i2c A, B den Parameter n einer normal- verteilten Zufallsvariablen berechnen ; A, B ; A, B Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv