Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

70 Approximation einer Binomialverteilung durch eine Normalverteilung Wirft man einen fairen Würfel 100-mal und interessiert sich für die Anzahl der geworfenen Sechser, so wissen wir bereits, dass die Zufallsvariable X, welche die Anzahl der Sechser zählt, binomialverteilt mit den Parametern n = 100 und p = 1 _ 6 ist. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f, die jeder ganzen Zahl k die Wahrscheinlichkeit P(X = k) zuordnet, ist gegeben durch f(k) = { 2 100 k 3 · 2 1 _ 6 3 k · 2 5 _ 6 3 100 – k für k * {0, 1, 2, 3, …, 100} 0 sonst. Wir können diese Funktion auf ganz R fortsetzen, indem wir für alle ganzen Zahlen k und alle Zahlen x im Intervall [k – 0,5; k + 0,5) definieren: f(x) = f(k). Diese Funktion ist eine Treppen- funktion, ihr Graph lässt sich durch den Graphen der Dichtefunktion g einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert μ = 100· 1 _ 6 ≈ 16,67 und σ = 9 _____ 100· 1 _ 6 · 5 _ 6 ≈ 3,73 annähern: Wollen wir nun zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit P(X º 25) = ; k = 25 100 P(X = k) ermitteln, so können wir diese Summe als Integral : 24,5 100,5 f(x) dx über die Treppenfunktion f interpretieren. Dieses Integral kann durch das Integral : 24,5 100,5 g(x) dx über die Dichtefunktion angenähert werden. Die exakte Berechnung P(X º 25) = 2 100 25 3 · 2 1 _ 6 3 25 · 2 5 _ 6 3 75 + 2 100 26 3 · 2 1 _ 6 3 26 · 2 5 _ 6 3 74 + … + 2 100 99 3 · 2 1 _ 6 3 99 · 2 5 _ 6 3 1 + 2 100 100 3 · 2 1 _ 6 3 100 · 2 5 _ 6 3 0 wäre aufwändig. Das Integral über die Dichtefunktion der Normalverteilung mit μ = 16,67 und σ = 3,73 ist mit Technologieeinsatz oder Tabelle rasch berechnet: P(X º 25) = 1 – P(X ª 24) = 0,0179 Tipp Man kann zeigen, dass diese Vorgangsweise eine gute Näherung ergibt, wenn der Parameter n der Binomialverteilung so groß ist, dass die Standardabweichung größer als 3 wird. Wenn X binomialverteilt ist und σ > 3 bzw. σ 2 > 9, so kann die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden. Es gilt dann P(X ª k) ≈ Φ 2 k + 0,5 – μ __ σ 3 bzw. P(X º k) ≈ 1 – Φ 2 k – 0,5 – μ __ σ 3 bzw. P(a ª X ª b) ≈ Φ 2 b + 0,5 – μ __ σ 3 – Φ 2 a – 0,5 – μ __ σ 3 Dabei sind μ = n·p und σ = 9 ______ n·p·(1 – p) der Erwartungswert bzw. die Standardabweichung der binomialverteilten Zufallsgröße X. k P(X = k) 2 0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 f g Approximation der Binomial- verteilung durch die Normal- verteilung ggb ga4t8b Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv