Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

66 Umkehraufgaben Der sogenannte Intelligenzquotient (IQ) eines Menschen wird durch einen Intelligenztest ermittelt. In der Gesamtbevölkerung ist der IQ normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15. Welchen IQ muss man mindestens besitzen, um zu den intelligentesten 5% der Bevölkerung zu gehören? Bezeichnen wir die normalverteilte Zufallsvariable, die den Intelligenzquotienten von Personen angibt, mit X, so suchen wir demnach jene Zahl a, für die P(X º a) = 0,05 gilt bzw. die zugehörige Gegenwahrscheinlichkeit P(X ª a) = 0,95. Mit Technologieeinsatz ermitteln wir a = 124,67 ≈ 125. Ab einem IQ von 125 zählt man also zu den intelligentesten 5% der Bevölkerung. GeoGebra CAS-Fenster InversNormal( <Mittelwert> , <Standardabweichung> , <Wahrscheinlichkeit> ) Wahrscheinlichkeitsrechner Siehe Technologieanhang Seite 170. Excel =NORM.INV( Wahrsch ; μ ; σ ) ¥ TI Nspire invNorm( Fläche , μ , σ ) 215 Die Zufallsvariable X beschreibt die Masse von Hühnereiern in Gramm und ist normalverteilt mit μ = 65 und σ = 7. Die höchste „Gewichtsklasse“ soll so definiert werden, dass sie die 10% schwersten Eier enthält. Berechne, wie schwer ein Ei der höchsten Gewichtsklasse mindestens sein muss. Wenn wir die Aufgabe ohne Technologieeinsatz lösen wollen, verwenden wir die Eigenschaft P(X ª a) = Φ 2 a – 65 _ 7 3 = 0,9. Aus der Tabelle entnehmen wir, dass Φ (1,28) = 0,9 ist, also a – 65 _ 7 = 1,28 und somit a = 73,96. Alle Eier, die schwerer als 73,96g sind, gehören zur höchsten Gewichtsklasse. 216 Eine normalverteilte Zufallsvariable beschreibt die Masse von Kürbissen einer bestimmten Sorte. Entscheide, welche der Grafiken den Sachverhalt richtig beschreibt. a. Um zu den schwersten 15% aller Kürbisse dieser Sorte zu gehören, muss ein Kürbis mindestens a kg wiegen. A 0,85 x a B 0,85 x a b. 90% aller Kürbisse dieser Sorte wiegen mindestens a kg. C 0,9 x a D 0,9 x a Umkehr- aufgaben lösen ggb/xls/tns js449h die schwersten 10% ermitteln A, B ggb/xls qa67u7 C , Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv