Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

60 201 Ergänze die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der richtigen Satzteile so, dass eine richtige Aussage entsteht: Wenn X eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ ist, so ist der Graph der Dichtefunktion f ___ (1) ___ und hat ___ (2) ___ bei μ . (1) (2) monoton steigend auf ganz R eine Minimumstelle konstant μ eine Maximumstelle symmetrisch bezüglich der zur y-Achse parallelen Geraden durch ( μ 1 0) eine Wendestelle Die Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen Aus Abschnitt 2.3 wissen wir bereits, dass für eine kontinuierliche Zufallsvariable X die Funktion F mit F(a) = P(X ª a) Verteilungsfunktion genannt wird. Die Verteilungsfunktion einer normalverteil- ten Zufallsvariable ist die Stammfunktion F der Dichtefunktion mit F( μ ) = 1 _ 2 . Mithilfe von Technologieeinsatz lassen sich die Funktionswerte von F näherungsweise berech- nen. Dadurch kann man den Graphen der Verteilungsfunktion recht gut darstellen: w Aus den Eigenschaften der Dichtefunktion lassen sich die folgenden Eigenschaften der Vertei- lungsfunktion herleiten: Ist X eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert μ und Standardabweichung σ , dann hat ihre Verteilungsfunktion F die folgenden Eigenschaften: ƒ F ist auf ganz R streng monoton wachsend. ƒ Der Funktionswert von F an der Stelle μ – 3 σ ist „fast 0“. ƒ Der Funktionswert an der Stelle μ + 3 σ ist „fast 1“. ƒ Der Graph von F hat den Wendepunkt ( μ 1 0,5). ƒ F( μ – a) = 1 – F( μ + a) Hat man gerade keine geeigneten Hilfsmittel zur Hand, dann ist es ganz nützlich, die folgenden Wahrscheinlichkeiten zu kennen: Tipp Wenn X eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ ist, dann gilt: P(X ª μ ) = P(X º μ) = 0,5 „50% aller Messwerte sind kleiner oder gleich (bzw. größer oder gleich) dem Erwartungswert“ P(X ª μ – σ ) = 0,1587 P(X ª μ + σ ) = 0,8413 P( μ – σ ª X ª μ + σ ) = 0,6827 „68,27% aller Messwerte haben vom Erwartungswert höchstens den Abstand σ “ P(X ª μ – 2 σ ) = 0,0228 P(X ª μ + 2 σ ) = 0,9772 P( μ – 2 σ ª X ª μ + 2 σ ) = 0,9545 „95,45% aller Messwerte haben vom Erwartungswert höchstens den Abstand 2 σ “ P(X ª μ – 3 σ ) = 0,0013 P(X ª μ + 3 σ ) = 0,9987 P( μ – 3 σ ª X ª μ + 3 σ ) = 0,9973 „0,9973% aller Messwerte haben vom Erwartungswert höchstens den Abstand 3 σ “ C : x f(x) 0,1 0,2 0,3 0,4 - 4 4 3 2 1 0 - 3 - 2 -1 f(x)dx = 0,9332 : 1,5 -∞ f x y 0,25 0,5 0,75 - 4 4 3 2 1 0 - 3 - 2 -1 F F(1,5) = 0,9332 Eigenschaften der Verteilungs- funktion F einer normal- verteilten Zufallsvariablen x y μ μ + 2 σ μ – 2 σ 0,25 0,5 0,75 0,1 F ( μ | 0,5) Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv