Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

58 Ist X eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert μ und Standardabweichung σ , dann hat ihre Dichtefunktion f die folgenden Eigenschaften: Der Graph von f ist symmetrisch bezüglich der zur y-Achse parallelen Geraden durch ( μ 1 0), das heißt: Für alle reellen Zahlen t ist f( μ + t) = f( μ – t). f hat genau eine Maximumstelle , nämlich μ , und f( μ ) = 1 _ 9 __ 2 π · σ . f hat zwei Wendestellen μ – σ und μ + σ . An den Stellen μ ± 3 σ ist der Funktionswert von f „fast 0“. Bis zur Stelle μ ist f monoton wachsend, nach der Stelle μ ist f monoton fallend. Tipp Aus diesen Eigenschaften ergibt sich: Verändert man μ und lässt σ gleich, dann wird der Graph nur entlang der x-Achse verschoben. Je größer σ ist, desto „flacher“ ist der Graph der Dichtefunk- tion. (Verdoppelt man σ , so halbiert sich die Höhe des Graphen der Dichtefunktion.) 194 Die Zufallsvariable X gibt die Größe eines Säuglings bei der Geburt in Zentimeter an und ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 52 und der Standardabweichung σ = 4. Skizziere den Graphen der Dichtefunktion f dieser Normalverteilung. Zum Skizzieren des Graphen der Dichtefunktion verwenden wir folgende Eigenschaften: Der Graph von f hat einen Hochpunkt an der Stelle des Erwartungswertes μ = 52. Der Graph von f hat Wendepunkte an den Stellen μ + σ = 52 + 4 = 56 und μ – σ = 52 – 4 = 48. An den Stellen μ + 3 σ = 52 + 3·4 = 64 und μ – σ = 52 – 3·4 = 40 ist der Funktionswert von f fast 0. Bis zur Stelle μ ist f monoton wachsend, nach der Stelle μ ist f monoton fallend. Für alle positiven reellen Zahlen t ist f( μ + t) = f( μ – t). 195 Die Zufallsvariable X gibt die Größe von 6-jährigen Kindern in Zentimeter an und ist normal- verteilt mit dem Erwartungswert μ = 115 und der Standardabweichung σ = 5. Skizziere über dem abgebildeten Maßstab den Graphen der Dichtefunktion f dieser Normalverteilung. x y μ σ σ 3 ∙ σ 3 ∙ σ f W 1 W 2 Eigenschaften der Dichte- funktion f einer normal- verteilten Zufallsvariable x f(x) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 - 8 -10 8 10 6 4 2 - 6 - 4 - 2 μ = - 4, σ = 2 μ = 0, σ = 1 μ = 4, σ = 0,5 den Graphen der Dichte- funktion einer normal- verteilten Zufallsvariablen skizzieren B x 46 44 42 40 38 50 48 52 54 56 58 60 62 64 66 f H W 2 W 1 μ – σ μ μ + σ B , x 90cm 100cm 110cm 120cm 130cm 140cm Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv