Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

55 Ist X eine kontinuierliche Zufallsvariable mit Wertemenge [a; b] und Dichtefunktion f, dann heißt E(X) = : a b x·f(x) dx der Erwartungswert von X, V(X) = : a b (x – E(X)) 2 ·f(x) dx die Varianz von X und σ = 9 ___ V(X) die Standardabweichung von X. Die Interpretation des Erwartungswertes ist die gleiche wie im diskreten Fall: Beobachtet man fortgesetzt Werte der Zufallsvariablen, so wird der Mittelwert der Beobachtungen dem Erwartungswert beliebig nahe kommen. Die Standardabweichung gibt den „mittleren Abstand“ der Beobachtungswerte von ihrem Erwartungswert an. 185 Die Lebensdauer einer Glühbirne in Jahren kann durch eine kontinuierliche Zufallsvariable mit der Dichtefunktion f mit f(x) = 0,5·e ‒0,5x beschrieben werden. Wir können Glühbirnen, die länger als 40 Jahre funktionieren, vernachlässigen. a. Ermittle den Erwartungswert für die Lebensdauer dieser Glühbirne. b. Berechne die Standardabweichung. Wir berechnen die folgenden Integrale mit Technologieeinsatz: a. E(X) = : 0 40 x·f(x) dx = 2 Eine solche Glühbirne hält im Durchschnitt 2 Jahre. b. V(X) = : 0 40 (x – 2) 2 ·f(x) dx = 4 Daher beträgt die Standardabweichung σ = 9 _ 4 = 2 Jahre. 186 Die Lebensdauer einer LED-Leuchte in Stunden kann durch die Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion f mit f(x) = 1 _ 50000 ·e ‒ x _ 50000 beschrieben werden Wir können LED-Leuchten mit einer längeren Lebensdauer als 1 000000 Stunden vernachlässigen. a. Ermittle den Erwartungswert für die Lebensdauer dieser LED-Leuchte. b. Berechne die Standardabweichung. 187 Die Lebensdauer eines Akkus in Tagen wird durch die Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion f mit f(x) = 1 _ 562500 x·e ‒ x _ 750 beschrieben. Wir vernachlässigen Akkus mit einer längeren Lebensdauer als 30000 Tagen. a. Ermittle den Erwartungswert für die Lebensdauer dieses Akkus. b. Berechne die Standardabweichung. c. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer mehr als 2000 Tagen beträgt. 188 Die Wartezeit zwischen zwei eingehenden Notrufen bei der Feuerwehrzentrale in Sekunden wird durch die Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion f mit f(x) = 0,004·e ‒0,004x beschrieben. Wir vernachlässigen Wartezeiten von mehr als 10000 Sekunden. a. Ermittle den Erwartungswert für die Wartezeit zwischen zwei eingehenden Notrufen. b. Berechne die Standardabweichung. c. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen zwei eingehenden Notrufen weniger als 60 Sekunden vergehen. Erwartungs- wert, Varianz und Standard- abweichung einer konti- nuierlichen Zufallsvariablen Erwartungswert und Standard- abweichung einer konti- nuierlichen Zufallsvariable berechnen A, B B ; B ; B ; 2.4 Kontinuierliche Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv