Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

54 183 Die Funktionsdauer eines Smartphones in Jahren kann durch eine Zufallsvariable X mit der Wertemenge [0; • ) und der Dichtefunktion f mit f(x) = 0,4·e ‒0,4x beschrieben werden. a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Funktionsdauer des Smartphones zwischen 1 und 3 Jahren liegt. b. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Funktionsdauer des Smartphones mehr als 5 Jahre beträgt. c. Stelle die in den Aufgaben a. und b. ermittelten Wahrscheinlichkeiten als Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion dar. 184 Die Funktionsdauer einer LED-Lampe kann durch eine Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion f mit f(x) = 1 _ 10 e ‒ x _ 10 und der Wertemenge [0; • ) beschrieben werden. Dabei gibt X die Funktions- dauer in 1 000 Stunden an. a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Funktionsdauer der LED-Lampe weniger als 5000 Stunden beträgt. b. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Funktionsdauer der LED-Lampe mehr als 20000 Stunden beträgt. c. Stelle die in den Aufgaben a. und b. ermittelten Wahrscheinlichkeiten als Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion dar. Erwartungswert und Standardabweichung kontinuierlicher Zufallsvariablen Autobusse werden täglich von unzähligen Menschen benutzt. Die Verkehrsbetriebe sind daran interessiert, wie lange die durchschnittliche Wartezeit beträgt, wenn alle 10 Minuten ein Bus in die Haltestelle einfährt. Wir bezeichnen die kontinuierliche Zufallsvariable, die die Wartezeit auf den Bus in Minuten angibt, wieder mit X. Da wir den Erwartungswert bislang nur für diskrete Zufallsvariablen kennengelernt haben, versuchen wir, X durch eine diskrete Zufallsvariable Y anzunähern, indem wir das Intervall [0; 10) in 5 gleich gro- ße Teilintervalle aufteilen. Wir definieren Y folgendermaßen: Y = 1, wenn 0 ª X < 2 ist, man also weniger als 2 Minuten wartet, Y = 3, wenn 2 ª X < 4 ist, man also mindestens 2 aber weniger als 4 Minuten wartet, Y = 5, wenn 4 ª X < 6 ist, Y = 7, wenn 6 ª X < 8 ist Y = 9, wenn 8 ª X < 10 ist. Das bedeutet: Anstatt zu sagen „ich habe zwischen 6 und 8 Minuten gewartet“, sagt man „ich habe ca. 7 Minuten gewartet“. Da P(Y = 1) = P(Y = 3) = … = P(Y = 9) = 1 _ 5 ist, erhalten wir für den Erwartungswert E(Y) = 1· 1 _ 5 + 3· 1 _ 5 + 5· 1 _ 5 + 7· 1 _ 5 + 9· 1 _ 5 = 5. Dieselbe Zahl erhalten wir, wenn wir das folgende Integral berechnen. : 0 10 x·f(x) dx = : 0 10 x· 1 _ 10 dx = x 2 _ 20 1 0 10 = 100 _ 20 – 0 _ 20 = 5 Dabei ist f mit f(x) = 1 _ 10 die Dichtefunktion unserer Zufallsvariablen X. Wir definieren daher den Erwartungswert von X als das Integral : 0 10 x·f(x) dx. Der Erwartungswert für die Wartezeit auf diesen Bus beträgt daher 5 Minuten. Wie im diskreten Fall können mithilfe des Erwartungswertes auch Varianz und Standard- abweichung definiert werden. B , B ; Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv