Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

53 179 Argumentiere, ob der abgebildete Graph der Graph der Dichtefunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariable X mit der Wertemenge M X = [0; 4] sein kann. Benutze dazu folgende Eigenschaft einer Dichtefunktion f: Wenn M X = [a; b] ist, dann ist : a b f(x) dx = 1. a. b. c. d. 180 Die Abbildung zeigt den Graphen der Verteilungsfunktion F einer kontinuierlichen Zufallsvariable X mit M X = [0; 5]. Bestimme die Wahrscheinlichkeit. a. P(X ª 1) c. P(X ª 2) e. P(X º 1) g. P(1 ª X ª 4) b. P(X ª 0,5) d. P(X ª 6) f. P(X º 3) h. P(2 ª X ª 3) 181 Die Lebensdauer einer Glühlampe in Jahren wird durch eine kontinuierliche Zufallsvariable mit der Wertemenge M X = [0; • ) und der Dichtefunktion f mit f(x) = 0,5·e ‒0,5x beschrieben. a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer einer solchen Glühbirne zwischen 1 und 2 Jahren liegt. b. Berechne, wie viel Prozent dieser Glühlampen eine Lebensdauer von über 3 Jahren erreichen. c. Stelle die beiden Wahrscheinlichkeiten als Flächen unter dem Graphen der Dichtefunktion dar. Wir berechnen die folgenden Integrale mit Technologieeinsatz. a. P(1 ª X ª 2) = F(2) – F(1) = : 1 2 f(x) dx = 0,2387 b. P(X º 3) = 1 – P(X ª 3) = 1 – : 0 3 f(x) dx = 0,2231 Daher erreichen 22,31% der Glühlampen eine Lebensdauer von über 3 Jahren. c. 182 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein neu gekauftes Wohnmobil x Jahre behalten wird, lässt sich durch eine kontinuierliche Zufallsvariable X mit dem Wertebereich M X = [0; • ) und der Dichtefunktion f mit f(x) = 0,3·e ‒0,3x beschreiben. Berechne, wie viel Prozent aller Camper ihr Wohnmobil a. höchstens 10 Jahre lang, b. mehr als 10 Jahre lang behalten. D , x a(x) 0 2 4 0 0,4 0,8 a x b(x) 0 2 4 0 0,4 0,8 b x c(x) 0 2 4 0 0,4 0,8 c x d(x) 0 2 4 0 0,4 0,8 d C , x y 0,2 0 0,4 0,6 0,8 1 3 4 5 6 2 1 0 F Wahrscheinlich- keiten einer kontinu- ierlichen Zufallsvariable berechnen A, B ggb/tns iu862w x f(x) 2 1 0 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 0,4 0,6 0,2 0 0,2387 0,2231 f A, B , 2.4 Kontinuierliche Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv