Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

51 In unserem Beispiel ist M X = [0; 10) die Wertemenge der Zufallsvariablen X („Wartezeit auf den Bus in Minuten“). Die Wahrscheinlichkeit, dass Stefan höchstens x Minuten warten muss, ist x _ 10 , wenn 0 ª x ª 10 ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass Stefan höchstens 0 Minuten warten muss, ist 0. Die Wahrscheinlichkeit, dass Stefan höchstens x Minuten warten muss, ist für x º 10 gleich 1. Der Graph der Verteilungsfunktion F sieht so aus: Man kann daraus ablesen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Stefan zwischen 4 und 6 Minuten warten muss, P(4 ª X ª 6) = F(6) – F(4) = 0,6 – 0,4 = 0,2 ist. Man hätte das auch so argumentieren können: Das Intervall [4; 6] hat die Länge 2, während M X = [0; 10) die Länge 10 hat. Also ist die Wahrscheinlichkeit P(4 ª X ª 6) = 2 _ 10 = 0,2. Ist f die Funktion mit f(x) = 1 _ 10 für x * [0; 10] und f(x) = 0 sonst, dann prüft man leicht nach, dass : a b f(x) dx = F(b) – F(a) ist. Dieses bestimmte Integral entspricht dem Inhalt der Fläche zwischen dem Intervall [a; b] auf der ersten Koordinatenachse und dem Graphen von f. Daher können wir uns die Wahrscheinlich- keit P(a ª X ª b) auch als Fläche unter dem Graphen von f vorstellen. Wir nennen f eine Dichtefunktion der kontinuierlichen Zufallsvariable X. Die grün gefärbte Fläche gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass Stefan zwischen 4 und 6 Minuten auf den Bus warten muss. Ist X eine kontinuierliche Zufallsvariable und F ihre Verteilungsfunktion, dann heißt die Funktion f Dichtefunktion von X, wenn für alle reellen Zahlen a, b mit a ª b gilt : a b f(x) dx = F(b) – F(a) = P(a ª X ª b) . Ist die Verteilungsfunktion F differenzierbar, dann ist die Dichtefunktion von X die Ableitung F’ . 173 Entscheide, ob die Zufallsvariable X diskret oder kontinuierlich ist. Dabei steht X für… a. … die Anzahl der Münzen in einer Geldbörse. b. … die Augensumme beim Werfen von zwei Würfeln. c. … die Masse eines Kürbis. d. … die Körpergröße eines Kindes. e. … die Anzahl der erzielten Tore bei einem Fußballmatch. f. … der Benzinverbrauch pro 100km eines Autos. x y 2 1 0 4 3 5 6 7 8 9 10 11 0,8 F(6) = 0,6 F(4) = 0,4 0,2 0 1 F P(4 ≤ X ≤ 6) = 0,2 x f(x) 2 1 0 4 3 5 6 7 8 9 10 11 0,1 0,05 0 f Dichtefunktion C : 2.4 Kontinuierliche Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv