Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

50 2.4 Kontinuierliche Zufallsvariable Ich lerne den Unterschied zwischen einer diskreten und einer kontinuierlichen Zufalls- variable kennen. Ich lerne die Eigenschaften der Verteilungsfunktion und der Dichtefunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariable kennen. Ich lerne aus der Verteilungsfunktion bzw. aus der Dichtefunktion Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln und diese mit den jeweiligen Funktionsgraphen zu veranschaulichen. Ich lerne den Erwartungswert und die Standardabweichung einer kontinuierlichen Zufalls- variablen zu berechnen. Verteilungsfunktion und Dichtefunktion Stefan kommt zu einem zufälligen Zeitpunkt zu einer Bushaltestelle, von der bekannt ist, dass die Busse hier exakt alle 10 Minuten ankommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Stefan genau 3 Minuten auf den Bus warten muss? Da Stefan zu einem zufälligen Zeitpunkt bei der Haltestelle ankommt, ist jede Wartezeit zwischen 0 und 10 Minuten gleich wahrscheinlich. Da es innerhalb von 10 Minuten beliebig viele Zeitpunkte gibt, an denen der Bus kommen könnte, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Stefan eine vorgegebene Zeitspanne wie zum Beispiel 5,4321 Minuten – oder eben auch exakt 3 Minuten – warten muss, gleich 0. Stefan überlegt daher, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass er höchstens 2 bzw. höchstens 4 Minuten warten muss. Diese 2 bzw. 4 Minuten sind 1 _ 5 bzw. 2 _ 5 des Zeitintervalls von 10 Minuten, in dem der Bus sicher kommt, also ist es naheliegend, die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit 1 _ 5 bzw. 2 _ 5 anzunehmen. Wir bezeichnen die Zufallsvariable, die Stefans Wartezeit in Minuten angibt, mit X. Sie kann jede beliebige Zahl aus dem Intervall [0; 10) annehmen. Eine solche Zufallsvariable nennt man eine kontinuierliche Zufallsvariable . Wenn wie in unserem Beispiel für jede Zahl a die Wahrscheinlichkeit P(X = a) = 0 ist, interessiert man sich bei kontinuierlichen Zufallsvariablen für die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte von X in einem bestimmten Intervall oder in einer bestimmten Halbgeraden liegen, wie zum Beispiel P(a ª X ª b) oder P(X ª b). Es ist P(a < X ª b) = P(X ª b) – P(X ª a), daher genügt es, die Wahrscheinlichkeiten P(X ª x) für alle reellen Zahlen x zu kennen. Eine Zufallsvariable heißt kontinuierlich , wenn ihre Wertemenge ein Intervall, eine Halbgerade oder die Menge aller reeller Zahlen ist. Ist X eine kontinuierliche Zufallsvariable, so nennt man die Funktion F: R ¥ [0; 1] mit F(x) = P(X ª x) Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. Eine solche Verteilungsfunktion ist stets monoton wachsend und nimmt nur Werte von 0 bis 1 an. Wir betrachten im Weiteren nur Zufallsvariablen X mit der Eigenschaft, dass für alle reellen Zahlen a gilt: P(X = a) = 0. Dann ist P(X ª a) = P(X < a). Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Zufallsvariablen im Intervall [a; b] liegt, ist dann P(a ª X ª b) = F(b) – F(a) . kontinuierliche Zufallsvariable Verteilungs- funktion Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv