Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

48 158 Einer Lieferung wird eine Stichprobe vom Umfang n = 40 entnommen. Enthält die Stichprobe mehr als zwei kaputte Teile, so wird die Lieferung zurückgewiesen. Bestimme die Annahmewahr- scheinlichkeit der Lieferung, wenn sie a. 1%, b. 2%, c. 5%, d. 10% unbrauchbare Teile enthält. 159 Beim Roulette gibt es 37 Zahlen. Dominik ist im Spielcasino und hat beobachtet, dass am Roulettetisch bereits seit 30 Runden nicht die Zahl 13 gekommen ist. a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl innerhalb der nächsten 7 Runden mindes- tens einmal kommt. b. Ändert sich diese Wahrscheinlichkeit, wenn Dominik weiter wartet und die Zahl 13 bereits seit 40 Runden nicht gekommen ist? Begründe. 160 Jemand würfelt mit 100 Würfeln gleichzeitig und zählt die Anzahl der gewürfelten Einser. a. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung der entsprechenden Zufalls- variablen. b. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass 20 oder mehr Einser gewürfelt werden. c. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 10 Einser gewürfelt werden. 161 Beim Roulette gibt es die 37 Zahlen von 0 bis 36. Davon haben 18 die Farbe Rot und 18 die Farbe Schwarz (die Null ist grün). Herr X. kontrolliert im Auftrag des Casinos die Roulettekessel und will überprüfen, wie oft die Kugel in 200 Spielrunden auf Rot landet. a. Berechne den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ . b. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel weniger als 100-mal auf Rot landet. c. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel mehr als 110-mal auf Rot landet. d. Der Roulettekessel wird als bedenklich eingestuft, wenn die Anzahl der roten Ausgänge mehr als die doppelte Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht. Wie oft muss Rot daher mindestens und wie oft darf es höchstens kommen, damit der Roulettekessel nicht als bedenklich eingestuft wird? Berechne. e. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein Roulettekessel, der in Wirklichkeit in Ordnung ist, als bedenklich eingestuft wird. 162 Die Chance mit einem Tipp beim österreichischen Lotto „6 aus 45“ einen Gewinn zu erzielen, beträgt ca. 4,6%. Berechne, wie viele (unabhängige) Tipps man mindestens abgeben muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens einen Gewinntipp zu haben. Mit X bezeichnen wir die Zufallsvariable, die die Anzahl der Gewinne unter n Tipps angibt. X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p. Die Anzahl n ist nun nicht bekannt, wir wissen aber, dass p = 0,046 ist. Es soll P(X º 1) º 0,9 sein. Mit der Gegenwahrscheinlichkeit schreiben wir das als P(X º 1) = 1 – P(X = 0) º 0,9 und formen um zu P(X = 0) ª 0,1. Wir müssen also die folgende Ungleichung lösen. P(X = 0) = 2 n 0 3 ·0,046 0 ·(1 – 0,046) n ª 0,1 1·1·0,954 n ª 0,1 0,954 n ª 0,1 | ln n·ln(0,954) ª ln(0,1) | : ln(0,954) < 0 n º ln(0,1) __ ln(0,954) ≈ 48,90 Man muss mindestens 49 unabhängige Tipps abgeben, um darunter mit einer Wahrscheinlich- keit von 90% mindestens einen Gewinntipp zu haben. 163 Berechne, wie oft man mindestens würfeln muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% mindestens einen Sechser zu werfen. 164 Die Wahrscheinlichkeit, beim Kauf eines Briefloses einen Gewinn von mindestens 100€ zu erzielen, beträgt ca. 0,00025. Berechne, wie viele Brieflose man kaufen muss, um mit einer Wahr- scheinlichkeit von 50% mindestens ein Los darunter zu haben, das 100€ oder mehr gewinnt. ; A, B ; A, B, D , A, B ; A, B ggb/tns bz6382 A, B die Größe einer Stichprobe berechnen A, B , A, B , Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv