Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

45 137 Schätzungen zu Folge leiden ungefähr 18% aller Österreicherinnen und Österreicher an Laktose- intoleranz. Wir betrachten die Zufallsvariable X, die die Anzahl der Personen mit Laktoseinto- leranz unter 40 zufällig ausgewählten Österreicherinnen und Österreichern zählt. a. Argumentiere, warum man X als binomialverteilt mit den Parametern n = 40 und p = 0,18 annehmen kann. b. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. a. Das Zufallsexperiment ist: Wir stellen fest, ob eine beliebige Österreicherin oder ein beliebiger Österreicher laktoseintolerant ist. Dieses Experiment wiederholen wir 40-mal, also ist n = 40. Für jede Person ist es dabei gleichgültig, ob die anderen laktseintolerant sind oder nicht. Die Einzelversuche sind also voneinander unabhängig und die Wahrscheinlichkeit für jede einzelnen Person ist p = 0,18. b. E(X) = 40·0,18 = 7,2 σ = 9 _________ 40·0,18·(1 – 0,18) = 9 _______ 40·0,18·0,82 ≈ 2,43 138 Ein Hersteller von Souvenirartikeln weiß, dass 4% seiner batteriebetriebenen Taschenventilato- ren mit Sissi-Motiv einen Produktionsfehler aufweisen. Diese Taschenventilatoren werden in Kisten zu 250 Stück an den Einzelhandel verkauft. Berechne die durchschnittlich zu erwartende Anzahl an defekten Geräten in einer solchen Kiste sowie die zugehörige Standardabweichung. 139 Eine Münze wird 100-mal geworfen und kann dabei jedes Mal entweder „Kopf“ oder „Zahl“ anzeigen. X ist die Zufallsvariable, die die Anzahl der auftretenden „Köpfe“ ergibt. a. Argumentiere, warum man X als binomialverteilt annehmen kann, und gib die Parameter n und p an. b. Berechne Erwartungswert und Standardabweichung von X. 140 Kreuze an, in welchen Situationen eine Binomialverteilung vorliegt. Begründe. A Man würfelt mit 10 Würfeln gleichzeitig und zählt die Anzahl der geworfenen Sechser. B Man erhält beim Kartenspiel 5 Karten ausgeteilt und zählt die Anzahl der Asse. C In einer Klinik zählt man die Anzahl der Mädchen unter 100 Neugeborenen. D Im Casino zählt man, wie oft bei 500 Roulette- Runden die Zahl 13 gekommen ist. E Bei einem Multiple-Choice-Test ist sich ein Kandidat bei einigen der 20 Aufgaben „ziemlich sicher“, bei anderen versucht er die richtige Antwort zu erraten. Man interessiert sich für die Anzahl der richtigen Antworten. 141 Hannes wettet, dass er bei zehnmaligem Würfeln mindestens 3 Sechser würfelt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er diese Wette gewinnt. Da die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser bei jedem Mal Würfeln die gleiche ist, ist die Zufalls- variable, welche die Anzahl der Sechser unter den 10 Würfen zählt, binomialverteilt mit n = 10 und p = 1 _ 6 . Um mindestens 3 Sechser zu würfeln, muss Hannes 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 oder 10 Sechser würfeln. Dafür könnten wir P(X = 3) bis P(X = 10) berechnen und anschließend addieren. Mithilfe des Gegenereignisses können wir die Aufgabe vereinfachen. Es gilt P(X º 3) = 1 – P(X < 3) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)], somit ist P(X º 3) = 1 – 4 2 10 0 3 · 2 1 _ 6 3 0 · 2 5 _ 6 3 10 + 2 10 1 3 · 2 1 _ 6 3 1 · 2 5 _ 6 3 9 + 2 10 2 3 · 2 1 _ 6 3 2 · 2 5 _ 6 3 8 5 = 0,225. Hannes gewinnt seine Wette nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 22,5%. begründen, ob eine Zufalls- variable binomialverteilt ist und ihren Erwartungs- wert und ihre Standard- abweichung berechnen A, B, D : A, B A, B, D : , C, D ggb/tns 9ut7z9 Wahrscheinlich- keit einer bino- mialverteilten Zufallsvariablen berechnen A, B 2.3 Binomialverteilung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv