Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

44 Als Erwartungswert für die Anzahl der richtigen Antworten bei unserem Multiple-Choice-Test erhalten wir E(X) = 0·0,2373 + 1·0,3955 + 2·0,2637 + … + 5·0,0010 = 1,25. Weil jede der 5 Frage mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 _ 4 richtig beantwortet wird, können wir auch annehmen, dass man 1 _ 4 der Fragen richtig beantwortet. Daher können wir den Erwartungs- wert viel einfacher berechnen: E(X) = 5· 1 _ 4 = 1,25. Die Brechnung der Standardabweichung leiten wir hier nicht her. Es ist σ = 9 ______ 5· 1 _ 4 · 2 1 – 1 _ 4 3 = 0,968. Das gilt auch allgemein: Ist die Zufallsvariable X binomialverteilt mit den Parametern n und p, so ist ihr Erwartungswert E(X) = n · p , ihre Varianz V(X) = n · p · (1 – p) und ihre Standardabweichung σ = 9 ______ n · p · (1 – p) . GeoGebra CAS-Fenster Binomial( <Anzahl der Versuche> , <Erfolgswahr- scheinlichkeit> , <Wert der Variablen> , <Wahrheits- wert Verteilungsfunktion> ) Wahrheitswert „true“: P(X ª Anzahl der Erfolge) Wahrheitswert „false“: P(X = Anzahl der Erfolge) Wahrscheinlichkeitsrechner Siehe Technologieanhang Seite 170. CAS-Fenster Wahrscheinlichkeitsrechner Excel =BINOM.VERT.BEREICH ( Versuche ; Erfolgswahr- scheinlichkeit ; Zahl_Erfol- ge ; [Zahl2_Erfolge] ) ¥ ¥ TI Nspire P(X ª Anzahl Erfolge): binomCdf( Anzahl Versu- che , Erfolgswahrschein- lichkeit , Anzahl Erfolge ) P(X = Anzahl Erfolge): binomPdf( Anzahl Versu- che , Erfolgswahrschein- lichkeit , Anzahl Erfolge ) Der Graph der Wahrscheinlichkeitsfunktion einer binomialverteilten Zufallsvariablen ergibt für große n ein annähernd „glockenförmiges“ Diagramm. Die größten Wahrscheinlichkeiten treten dabei im Bereich um den Erwartungswert n·p auf. Erwartungs- wert, Varianz und Standard- abweichung einer binomial- verteilten Zufallsvariablen Wahrscheinlich- keiten einer binomial- verteilten Zufallsvariable berechnen ggb/xls/tns p9q3sa k P(X = k) 0 0,05 0,1 50 40 30 20 10 0 n = 50, p = 0,4 Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv