Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

43 2.3 Binomialverteilung Ich lerne zu argumentieren, ob eine gegebene Zufallsvariable binomialverteilt ist. Ich lerne mit der Binomialverteilung Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Ich lerne den Erwartungswert und die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufalls- variable zu berechnen. Bei einem Multiple-Choice-Test erhalten die Kandidatinnen und Kandidaten 5 Fragen, zu denen es jeweils 4 Antwortmöglich- keiten gibt. Von diesen 4 Antwortmöglichkeiten ist jeweils genau eine Antwort richtig. Wir nehmen nun an, dass ein Kandidat für diesen Test nichts gelernt hat und alle Antworten rein zufällig ankreuzt. Die Zufallsvariable X gibt dabei an, wie viele Fragen bei diesem „Zufallsexperiment“ richtig beantwortet wurden. Wie sieht die Wahrscheinlichkeitsfunktion dieser Zufallsvariablen aus? Wir suchen also alle Wahrscheinlichkeiten P(X = k) für k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Folgende Vorüberlegun- gen erleichtern uns die Berechnung: Jede einzelne Frage wird mit derselben Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 4 richtig und 1 – p = 3 _ 4 falsch beantwortet. Die Wahrscheinlichkeit, die ersten k Fragen richtig zu beantworten und den Rest falsch, beträgt 2 1 _ 4 3 k · 2 3 _ 4 3 5 – k . Möchte man beliebige k Fragen richtig beantworten, so gibt es zunächst 2 5 k 3 Möglichkeiten, aus den 5 Fragen k Fragen auszuwählen. Jede dieser Möglichkeiten hat dieselbe Wahrschein- lichkeit 2 1 _ 4 3 k · 2 3 _ 4 3 5 – k , daher ist die Wahrscheinlichkeit, genau k Fragen richtig zu beantworten P(X = k) = 2 5 k 3 · 2 1 _ 4 3 k · 2 3 _ 4 3 5 – k . Wir erhalten folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion, die wir in einem Diagramm veranschaulichen können: P(X = 0) = 2 5 0 3 · 2 1 _ 4 3 0 · 2 3 _ 4 3 5 ≈ 0,2373 P(X = 1) = 2 5 1 3 · 2 1 _ 4 3 1 · 2 3 _ 4 3 4 ≈ 0,3955 P(X = 2) = 2 5 2 3 · 2 1 _ 4 3 2 · 2 3 _ 4 3 3 ≈ 0,2637 P(X = 3) = 2 5 3 3 · 2 1 _ 4 3 3 · 2 3 _ 4 3 2 ≈ 0,0879 P(X = 4) = 2 5 4 3 · 2 1 _ 4 3 4 · 2 3 _ 4 3 1 ≈ 0,0146 P(X = 5) = 2 5 5 3 · 2 1 _ 4 3 5 · 2 3 _ 4 3 0 ≈ 0,0010 Daraus ergibt sich nun die Definition: Ein Zufallsexperiment wird n-mal durchgeführt, wobei die Einzelversuche voneinander unabhängig sind. Wir interessieren uns dabei für die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis E genau k mal eintritt. Zu diesem Zweck betrachten wir die Zufallsvariable X, die zählt, wie oft E eintritt. Falls die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von E bei jeder einzelnen Wiederholung gleich p ist, so sagt man, dass die Zufallsvariable X binomialverteilt mit den Parametern n und p ist. Es ist dann P(X = k) = 2 n k 3 p k (1 – p) n – k . Tipp In Zufallsexperimenten, die durch „Ziehen mit Zurücklegen“ beschrieben werden können, ist die Zufallsvariable X, die die Häufigkeit des Eintretens eines Ereignisses E zählt, stets binomialverteilt. ggb 2qx2x4 k p k 1 0 2 3 4 5 0 0,2 0,4 binomial- verteilte Zufallsvariable 2.3 Binomialverteilung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv