Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

41 121 Ein normaler Würfel wird so umgestaltet, dass 4 seiner Flächen die Zahl 1 tragen und 2 Flächen die Zahl 6. Berechne den Erwartungswert für die geworfene Zahl. 122 Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen und ihre Augenzahl addiert. a. Erstelle eine Tabelle, in der für alle möglichen Augensummen die Wahrscheinlichkeit angegeben ist. b. Berechne den Erwartungswert für die Summe der Augenzahlen. c. Ermittle die Varianz und die Standardabweichung der Summe der Augenzahlen. 123 Florian hat in seiner Geldbörse eine 2-€-Münze, drei 1-€-Münzen, zwei 50-ct-Münzen, drei 20-ct- Münzen, eine 10-ct-Münze und zwei 5-ct-Münzen. Als er einen Bettler sieht, nimmt er zufällig eine Münze heraus und wirft sie in seinen Hut. Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung des verschenkten Betrages. 124 Herr S. hat sich ein Rubbellos gekauft und leider nichts gewonnen. Enttäuscht sieht er sich die Tabelle mit den möglichen Gewinnen an und erfährt noch dazu Folgendes: Die Serie besteht aus 4 Millionen Losen, der Lospreis beträgt 2€. a. Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung des Gewinns beim Kauf eines Loses. b. Berechne die Wahrscheinlichkeit, mehr als den Lospreis zu gewinnen. c. Berechne die Wahrscheinlichkeit, maximal den Lospreis zurückzugewinnen. 125 Beim Roulette gibt es 37 Zahlen, von denen 18 rot und 18 schwarz sind (die Null ist meist grün). Setzt man auf Rot und die Kugel fällt tatsächlich auf eine rote Zahl, so erhält man das Doppelte seines Einsatzes zurück. Berechne Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns, wenn man a. 10€, b. 100€ auf Rot setzt. 126 Setzt man beim Roulette auf eine der 37 Zahlen, so erhält man, wenn die Kugel tatsächlich auf diese Zahl fällt, das 36-Fache seines Einsatzes zurück. Berechne Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns, wenn man a. 10€, b. 100€ auf eine Zahl setzt. 127 Beim Roulette gibt es 37 Zahlen. Setzt man auf das „erste Dutzend“ (das sind die Zahlen von 1 bis 12), so erhält man, wenn die Kugel auf eine dieser Zahlen fällt, das 3-Fache seines Einsatzes zurück. Berechne Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns, wenn man a. 10€, b. 100€ auf das erste Dutzend setzt. 128 Vergleiche die Ergebnisse der Aufgaben 125–127. Was fällt dir bezüglich des Erwartungswertes, der Varianz und der Standardabweichung auf? Bei welchem der drei vorgestellten Setzverhalten im Roulette ist die Standardabweichung am größten, bei welcher ist sie am kleinsten? Dokumen- tiere deine Überlegungen. 129 In einer Geldbörse befinden sich vier 10-Euro-Scheine und zwei 5-Euro-Scheine. Es werden zufällig zwei Scheine herausgezogen. Berechne den Erwartungswert für den gezogenen Gesamtbetrag. Die Zufallsvariable X ordnet den gezogenen Scheinen den Gesamtbetrag in Euro zu. Wir zeichnen ein Baumdiagramm und berechnen die Wahrscheinlichkeiten: P(X = 10) = 2 _ 6 · 1 _ 5 = 1 _ 15 P(X = 15) = 4 _ 6 · 2 _ 5 + 2 _ 6 · 4 _ 5 = 8 _ 15 P(X = 20) = 4 _ 6 · 3 _ 5 = 6 _ 15 Somit ist E(X) = 10· 1 _ 15 + 15· 8 _ 15 + 20· 6 _ 15 = 16,67€. , A, B , A, B , A, B , A, B 5-mal € 25000,– 10-mal € 5000,– 100-mal € 500,– 1 000-mal € 50,– 5000-mal € 15,– 55000-mal € 8,– 550000-mal € 4,– 945000-mal € 2,– , A, B , A, B , A, B , C Erwartungswert berechnen A, B €10 x = 20 x = 15 x = 15 x = 10 €10 €5 €10 €5 €5 3 5 4 6 2 5 4 5 2 6 1 5 2.2 Diskrete Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv