Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

40 Erwartungswert und Standardabweichung diskreter Zufallsvariable Ein neu eröffnetes Möbelhaus veranstaltet ein „Rabatt-Würfeln“. Jede Kundin und jeder Kunde darf an der Kassa einen Würfel werfen. Die geworfene Augenzahl gibt an, wie viel Prozent Rabatt diese Kundin bzw. dieser Kunde erhält. Lässt sich vorhersagen, wie viel diese Aktion das Möbelhaus ungefähr kosten wird, wenn man annimmt, dass an diesem Tag Waren im Wert von 100000€ verkauft werden? Das Zufallsexperiment „Rabatt-Würfeln“ wird an diesem Tag sehr oft durchgeführt. Man kann davon ausgehen, dass jede der Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 in ca. einem Sechstel der Fälle eintritt. Daher beträgt die durchschnittlich geworfene Augenzahl 1· 1 _ 6 + 2· 1 _ 6 + 3· 1 _ 6 + 4· 1 _ 6 + 5· 1 _ 6 + 6· 1 _ 6 = 21 _ 6 = 3,5. Das bedeutet, wenn man einen Würfel sehr oft wirft, so erzielt man eine durchschnittliche Augenzahl von 3,5. Man nennt diese Zahl 3,5 auch den Erwartungswert der geworfenen Augen- zahl. Im Durchschnitt wird daher an der Kassa ein Rabatt von 3,5% gewährt. Bei einem Warenwert von 100000€ entstehen dem Möbelhaus dadurch Kosten in der Höhe von 100000€·0,035 = 3500€. Obwohl der Erwartungswert für die Augenzahl beim Werfen eines Würfels 3,5 beträgt, ist eine Augenzahl von 3,5 ein unmögliches Ereignis. Die einzelnen Ausgänge bei der Durchführung die- ses Zufallsexperiments weichen vom Erwartungswert ab. Wie weit weichen sie durchschnittlich ab? Wir berechnen dazu die Standardabweichung : σ = 9 ________________________________________ (1 – 3,5) 2 · 1 _ 6 + (2 – 3,5) 2 · 1 _ 6 + (3 – 3,5) 2 · 1 _ 6 + (4 – 3,5) 2 · 1 _ 6 + (5 – 3,5) 2 · 1 _ 6 + (6 – 3,5) 2 · 1 _ 6 ≈ 1,71 Verzichtet man hier auf die Wurzel und berechnet mit (1 – 3,5) 2 · 1 _ 6 + (2 – 3,5) 2 · 1 _ 6 + (3 – 3,5) 2 · 1 _ 6 + (4 – 3,5) 2 · 1 _ 6 + (5 – 3,5) 2 · 1 _ 6 + (6 – 3,5) 2 · 1 _ 6 ≈ 2,92 die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Erwartungswert, so nennt man diese Zahl Varianz . Ist X eine diskrete Zufallsvariable mit M X = {x 1 , x 2 , …, x n }, so heißt E(X) = ; i = 1 n x i ·P(X = x i ) der Erwartungswert von X, V(X) = ; i = 1 n (x i – E(X)) 2 ·P(X = x i ) die Varianz von X und σ = 9 ___ V(x) = 9 ____________ ; i = 1 n (x i – E(X)) 2 ·P(X = x i ) die Standardabweichung von X. 120 Ein Spielwürfel wurde so umgestaltet, dass die Zahl 6 durch die Zahl 1 ersetzt wurde. Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung für die geworfene Augenzahl. Der Erwartungswert ist E(X) = 1· 1 _ 6 + 2· 1 _ 6 + 3· 1 _ 6 + 4· 1 _ 6 + 5· 1 _ 6 + 1· 1 _ 6 = 16· 1 _ 6 = 8 _ 3 ≈ 2,67. Die Varianz ist V(X) = 2 1 – 8 _ 3 3 2 · 1 _ 6 + 2 2 – 8 _ 3 3 2 · 1 _ 6 + 2 3 – 8 _ 3 3 2 · 1 _ 6 + 2 4 – 8 _ 3 3 2 · 1 _ 6 + 2 5 – 8 _ 3 3 2 · 1 _ 6 + 2 1 – 8 _ 3 3 2 · 1 _ 6 = 20 _ 9 ≈ 2,22. Die Standardabweichung ist σ = 9 __ 20 _ 9 ≈ 1,49. Erwartungswert Varianz Standard- abweichung Erwartungs- wert, Varianz und Standard- abweichung berechnen A, B Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv