Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

37 Wenn M X = {x 1 , x 2 , …, x n } die Wertemenge einer diskreten Zufallsvariablen X ist, so nennt man die Funktion von M X nach [0; 1], die jedem Funktionswert x i von X die Wahrscheinlichkeit P(X = x i ) = P({ ω * Ω‡ X( ω ) = x i }) zuordnet, die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X . Weil jedem ω * Ω von X genau ein Element von M X zugeordnet wird, ist P(X = x 1 ) + P(X = x 2 ) + … + P(X = x n ) = 1. 104 Drei Münzen werden geworfen. X gibt die Anzahl der geworfenen Köpfe an. a. Gib die Grundmenge Ω und die Wertemenge M X des Zufallsexperimentes an. b. Berechne für jede Zahl x * M X die Wahrscheinlichkeit P(X = x) und stelle dann die Wahrscheinlichkeitsfunktion in einem Diagramm dar. a. Die Grundmenge dieses Zufallsexperimentes ist Ω = {(KKK), (KKZ), (KZK), (KZZ), (ZKK), (ZKZ), (ZZK), (ZZZ)}. Die Anzahl der geworfenen Köpfe kann 0, 1, 2 oder 3 sein. Daher ist M X = {0, 1, 2, 3}. b. Die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Ausgang ω ist P( ω ) = 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 = 1 _ 8 . Also ist p 0 = P(X = 0) = P({(ZZZ)}) = 1 _ 8 p 1 = P(X = 1) = P({(KZZ), (ZKZ), (ZZK)}) = 1 _ 8 + 1 _ 8 + 1 _ 8 = 3 _ 8 p 2 = P(X = 2) = P({(KKZ), (KZK), (ZKK)}) = 1 _ 8 + 1 _ 8 + 1 _ 8 = 3 _ 8 p 3 = P(X = 3) = P({(KKK)}) = 1 _ 8 105 Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei einem neugeborenen Kind um ein Mädchen handelt, beträgt 0,48, die Wahrscheinlichkeit für einen Buben ist 0,52. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Mädchen in einer Familie mit drei Kindern an. a. Gib die Wertemenge M X dieser Zufallsvariablen an. b. Berechne die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X und stelle diese in einem Diagramm dar. 106 Vier Münzen werden geworfen. Die Zufallsvariable Z zählt, wie oft sie dabei die Seite „Zahl“ zeigt. Berechne P(Z = z) für z = 0, 1, 2, 3, 4 und stelle das Ergebnis mithilfe eines Diagramms dar. 107 Ein Zufallsexperiment besteht aus dem Werfen von zwei Würfeln. Die Zufallsvariable X gibt die Summe der beiden geworfenen Augenzahlen an. a. Berechne P(X º 10). b. Interpretiere dein Ergebnis. 108 Ein Fußballfan interessiert sich für die Zufallsvariable X, die die Anzahl der Tore bei einem Spiel der österreichischen Bundesliga angibt. a. Recherchiert die Ergebnisse des letzten Spieljahres und ermittelt daraus die Wahrscheinlich- keitsfunktion von X näherungsweise. b. Stellt diese Wahrscheinlichkeitsfunktion in einem Diagramm dar. 109 Die Zufallsvariable X ordnet jeder Mitschülerin und jedem Mitschüler eurer Klasse die Anzahl der Geschwister zu. a. Gebt die Wertemenge von X an. b. Stellt die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X graphisch dar. c. Berechnet mithilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X º 2). d. Interpretiert das Ergebnis von Aufgabe c . Was genau sagt die erhaltene Zahl aus? Wahrscheinlich- keitsfunktion A, B eine Wahrscheinlich- keitsfunktion berechnen und in einem Diagramm darstellen ggb/xls 3n227y i p i 1 0 2 3 0,1 0 0,2 0,3 0,4 , A , A , A, B, C ; A, C ; A, B, C 2.2 Diskrete Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv