Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

36 2.2 Diskrete Zufallsvariable Ich lerne diskrete Zufallsvariable kennen und ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion zu bestimmen. Ich lerne den Erwartungswert und die Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen zu berechnen und zu interpretieren. Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsfunktion Wenn wir zwei Würfel werfen, dann erhalten wir als mögliche Ausgänge eines der abgebildeten 36 Paare von Augenzahlen. Diese können wir auch als die Menge aller Paare gan- zer Zahlen (i, j) mit 1 ª i ª 6 und 1 ª j ª 6 beschreiben. Oft ist man beim Würfeln nur an der Augensumme interessiert. Das Bilden der Augensumme wird durch die Funktion beschrieben, die jedem Aus- gang (i, j) unseres Zufallsexperiments die Zahl i + j zuordnet. Eine solche Funktion nennt man (diskrete) Zufallsvariable . Wir definieren allgemein: Ist Ω die Grundmenge eines Zufallsexperiments, so nennt man eine Funktion X: Ω ¥ R eine Zufallsvariable . Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ausgang eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu. Mit M X bezeichnen wir die Menge M X = {X( ω ) ‡ ω * Ω } . M X ist eine Menge von reellen Zahlen, die wir als Wertemenge der Zufallsvariablen X bezeichnen. Ist M X eine endliche Menge, so nennt man X eine diskrete Zufallsvariable . Tipp Man bezeichnet Zufallsvariablen meistens mit Großbuchstaben vom Ende des Alphabets (X, Y, Z). Achtung Beachte den Unterschied zwischen den Begriffen „Ereignis“ und „Zufallsvariable“. Ein Ereignis kann bei der Durchführung eines Experimentes eintreten oder nicht eintreten. Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ausgang eine bestimmte Zahl zu. Ein Ereignis ist eine Teil- menge der Grundmenge Ω , eine Zufallsvariable ist eine Funktion von Ω nach R . Kehren wir zurück zu unserem Beispiel mit der Augensumme zweier Würfel. Mithilfe der Zufallsvariablen X lassen sich die Wahrscheinlichkeiten von manchen Ereignissen einfacher anschreiben. Anstelle von P(„Die Augensumme der beiden Würfel beträgt 9“) schreiben wir nun kurz P(X = 9). Damit lässt sich jeder Augensumme bzw. jedem Element der Menge M X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} eine Wahrscheinlichkeit zuordnen: P(X = 2) = 1 _ 36 ; P(X = 3) = 2 _ 36 ; P(X = 4) = 3 _ 36 ; P(X = 5) = 4 _ 36 ; P(X = 6) = 5 _ 36 ; P(X = 7) = 6 _ 36 ; P(X = 8) = 5 _ 36 ; P(X = 9) = 4 _ 36 ; P(X = 10) = 3 _ 36 ; P(X = 11) = 2 _ 36 ; P(X = 12) = 1 _ 36 . Den Graphen dieser Wahrscheinlichkeitsfunktion von X können wir durch ein Stabdiagramm ver- anschaulichen: Zufallsvariable x i P(X = x i ) 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0,05 0,2 0 0,1 0,15 Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv