Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

34 90 Bei einem Pferderennen kann auf die Reihenfolge des Zieleinlaufs der 8 teilnehmenden Pferde gewettet werden. Berechne die Anzahl der möglichen unterschiedlichen Reihenfolgen. Es handelt sich um eine Permutation von 8 unterschiedlichen Elementen. Die gesuchte Anzahl ist daher 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 40320. 91 Vor ihrem Auftritt überlegt eine Band, in welcher Reihenfolge sie ihre sechs Songs vorspielen soll. Da jeder der Musiker einer anderen Meinung ist, kommt plötzlich die Frage auf: Wie viele ver- schiedene Reihenfolgen gibt es überhaupt? Berechne die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen. 92 Nora hat ein vierstelliges Fahrradschloss. Sie hat die Zahlenkombination für das Öffnen des Schlosses vergessen und kann sich nur noch erinnern, dass sie aus den vier Ziffern 4, 5, 6, 7 in irgendeiner Reihenfolge besteht. Ermittle, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, und schreibe sie auf. 93 Neun Damen treffen sich jeden Mittwoch zum Kaffeekränzchen. Um Abwechslung in die Runde zu bringen, beschließen sie, jedes Mal in einer anderen Anordnung zu sitzen. Berechne, wie viele Jahre hindurch sich die Damen treffen müssten, um sämtliche Sitzordnungen auszuprobieren. (Nimm vereinfachend an, dass ein Jahr 52 Mittwoche hat.) Binomialkoeffizienten Aus einer Schulklasse mit 24 Kindern sollen zufällig 3 Kinder ausgelost werden, die die Klasse bei einem Wettbewerb vertreten. Wie viele unterschiedliche solche Teams sind theoretisch möglich? Stellen wir uns dazu vor, dass die Namen der Kinder auf Lose geschrieben und danach 3 Lose gezogen werden. Bei der ersten Ziehung hat man 24 Lose zur Wahl, bei der zweiten Ziehung nur noch 23 und bei der dritten Ziehung 22. Die Anzahl der unterschiedlichen Ziehungen beträgt daher 24·23·22 = 12144. Nehmen wir an, es wurden der Reihe nach Anton, Belinda und Clara gezogen. Für die Zusammen- setzung des Teams ist die Reihenfolge, in der die drei gezogen wurden, ohne Bedeutung. Die 3! = 6 unterschiedlichen Ziehungen (Anton-Belinda-Clara, Anton-Clara-Belinda, Belinda- Anton-Clara, Belinda-Clara-Anton, Clara-Anton-Belinda, Clara-Belinda-Anton) repräsentieren alle dasselbe Team. Daher müssen wir die Anzahl aller unterschiedlichen Ziehungen durch 3! dividie- ren und erhalten 24·23·22 __ 3! = 2024. Wir haben aus einer Menge mit 24 Elementen (Kindern) eine Teilmenge mit 3 Elementen ausgewählt. Bei Mengen kommt es auf die Reihenfolge der Elemente nicht an. Die Anzahl war 24·23·22 __ 3! . Diesen Bruch kann man auch so schreiben: 24·23·22 __ 3! = 24·23·22·(21·20·…·1) ____ 3!·(21·20·…·1) = 24! _ 3!·21! . Wir nennen die Zahl n! __ k!·(n – k)! Binomialkoeffizient und schreiben 2 n k 3 = n! __ k!·(n – k)! . Dabei sind n und k natürliche Zahlen mit 0 ª k ª n. Wegen 0! = 1 ist 2 n 0 3 = 2 n n 3 = 1 . Die Anzahl der Möglichkeiten k Elemente aus n Elementen auszuwählen (oder die Anzahl der Teilmengen mit k Elementen in einer Menge mit n Elementen) ist 2 n k 3 . TIpp Eine Auswahl von k Elementen aus n Elementen nennt man auch eine Kombination von k aus n Elementen. Anzahl an Permutationen berechnen A, B : A, B , A, B , A, B Binomial- koeffizient Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv