Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

28 Zusammenfassung Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, der unter exakt festgelegten Bedingungen abläuft, unter diesen Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang nicht eindeutig vorher- sehbar ist. Die Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments nennt man Grundmenge oder Ausgangsmenge . Wir bezeichnen sie zumeist mit Ω . Bei einem Zufallsexperiment ist ein Ereignis E eine Teilmenge der Grundmenge Ω . Mit ω * Ω bezeichnen wir einen Ausgang eines Zufallsexperimentes ( ω ist der zu Ω gehörige Kleinbuchstabe „klein Omega“). Dann nennen wir die Anzahl des Auftretens von ω bei n Ver- suchsdurchführungen die absolute Häufigkeit und schreiben dafür H n ( ω ). Den Quotienten h n ( ω ) = H n ( ω ) _ n nennen wir die relative Häufigkeit von ω . Wiederholt man ein Zufallsexperiment sehr oft, so nähert sich die relative Häufigkeit h n ( ω ) immer mehr einer Zahl, die wir mit P( ω ) bezeichnen. Wir nennen sie die Wahrscheinlichkeit des Ausgangs ω . Ist E a Ω eine endliche Menge, dann definieren wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E durch P(E) = ; ω * E P( ω ) , wenn E ≠ { } und P({ }) = 0 . In Worten: Die Wahrscheinlichkeit von E ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elemente von E. Dabei gilt stets: 0 ª P(E) ª 1 P( Ω ) = 1 („sicheres Ereignis“) In einem Laplacemodell wird angenommen, dass die Ausgangsmenge Ω eines Zufallsexperi- ments endlich ist und alle Ausgänge die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Enthält Ω m Elemen- te, so ist die Wahrscheinlichkeit jedes Ausgangs 1 _ m . In einem Laplacemodell ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E P(E) = g _ m . Dabei bezeichnet g die Anzahl der Elemente von E (die „günstigen Fälle“) und m die Anzahl der Elemente von Ω (die „möglichen Fälle“). Oft ist es einfacher, anstelle der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E die Wahrscheinlichkeit seines Gegenereignisses oder Komplementärereignisses E c = Ω \E (sprich „E komplementär“) zu berechnen. Dabei ist P(E c ) = 1 – P(E) . Wahrschein- lichkeit Laplacemodell Zusammenfassung: Wahrscheinlichkeitsrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv