Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

203 Binomialverteilung Zufallsexperiment mit n unabhängigen Einzelversuchen X … Zufallsvariable, die angibt, wie oft ein Ereignis E eintritt p … Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von E P(X = k) = 2 n k 3 p k ·(1 – p) n – k E(X) = n·p V(X) = n·p· (1 – p) σ = 9 _______ n·p· (1 – p) Normalverteilung Erwartungswert: μ Standardabweichung: σ Dichtefunktion der Normalverteilung mit den Parametern μ und σ f(x) = 1 _ 9 __ 2 π · σ e ‒ 1 _ 2 · 2 x – μ _ σ 3 2 Dichtefunktion der Standardnormalverteilung φ (x) = 1 _ 9 __ 2 π e ‒ x 2 _ 2 Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Φ (z) = P(Z ª z) = : ‒ • z φ (x) dx Eine Tabelle mit den Funktionswerten von Φ befindet sich auf Seite 205. Wahrscheinlichkeitsberechnung mit der Normalverteilung Ist X normalverteilt mit den Parametern μ und σ , dann ist Z = X – μ _ σ normalverteilt mit den Parametern 0 und 1. F(x) = Φ 2 x – μ _ σ 3 P(X ª a) = Φ 2 a – μ _ σ 3 P(X º a) = 1 – Φ 2 a – μ _ σ 3 P(a ª X ª b) = Φ 2 b – μ _ σ 3 – Φ 2 a – μ _ σ 3 Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Ist X binomialverteilt mit den Paremetern n und p, dann ist der Erwartungswert μ = n·p und die Standardabweichung σ = 9 ______ n·p·(1 – p). Wenn σ > 3 bzw. σ 2 > 9 ist, so kann man die Verteilung von X durch die Normalverteilung mit den Parametern μ und σ approximieren. Es gilt: P(X = a) ≈ Φ 2 a + 0,5 – μ __ σ 3 – Φ 2 a – 0,5 – μ __ σ 3 P(X ª a) ≈ Φ 2 a + 0,5 – μ __ σ 3 P(X º a) ≈ 1 – Φ 2 a – 0,5 – μ __ σ 3 P(a ª X ª b) ≈ Φ 2 b + 0,5 – μ __ σ 3 – Φ 2 a – 0,5 – μ __ σ 3 Wichtige Formeln auf einen Blick Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv