Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

b. Es wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass mindestens eines der drei Soufflés nicht perfekt gelingt. 280. a. b. 0,832 [P(„besteht“) = 0,8 3 + 0,8 2 ·0,2 + 0,8·0,2·0,6 + 0,2·0,6·0,8 = 0,832] 281. a. Die gezogenen Kugeln wurden nicht zurückgelegt. Man erkennt das daran, dass die Nenner der Brüche, die der Anzahl der noch vorhandenen Kugeln entsprechen, bei jedem Zug kleiner werden. b. Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue und eine weiße Kugel in beliebiger Reihenfolge zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 0,4167. 4 5 _ 10 · 4 _ 9 · 5 _ 8 + 5 _ 10 · 5 _ 9 · 4 _ 8 + 5 _ 10 · 5 _ 9 · 4 _ 8 = 300 _ 720 = 0,4167 5 282. a. 0,08855 [0,61·0,005 + 0,27·0,13 + 0,12·0,42 = 0,08855] b. 0,5692 4 0,12·0,42 _____ 0,61·0,005 + 0,27·0,13 + 0,12·0,42 = 0,5692 5 283. a. b. 0,10 [Wir entnehmen diesen Wert dem Feld P(L ° G).] c. Wären G und L voneinander unabhängig, so müsste P(L ° G) = P(L)·P(G) sein. Es ist aber P(L)·P(G) = 0,37·0,16 = 0,0592 und P(L ° G) = 0,10. 284. D A ist nicht binomialverteilt, weil es mehr als zwei Ausgänge gibt. B ist nicht binomialverteilt, weil es mehr als zwei Ausgänge gibt. C ist nicht binomialverteilt, da die Zufallsvariable die Augen- summe angibt. D ist binomialverteilt, weil die Wahrscheinlichkeit, einen Kopf zu werfen, immer 0,5 ist, es nur zwei Ausgänge pro Wurf gibt und X die Anzahl der Erfolge angibt. E ist nicht binomialverteilt, weil sich die Anzahl der Münzen nach jeder gezogenen Münze ändert und somit ändern sich auch die Wahrscheinlichkeiten. 285. a. C b. A 286. Für diese Berechnung muss der Biologe die Dichtefunktion der vorliegenden normalverteilten Zufallsvariablen kennen. Dazu benötigt er ihren Erwartungswert und ihre Standardabweichung. 287. (1) Extremstelle (2) der Erwartungswert [Die Extremstelle der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen ist ja deren Erwartungswert.] 288. a. b. Der Graph hat ein doppelt so großes Maximum und die Wen- destellen liegen näher an der Extremstelle. 289. a. A b. D 290. 0,5836 [X … Anzahl der Lose mit Gewinn P(X > 5) = 1 – P(X ª 5) = = 1 – (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)) = = 1 – 2 2 20 0 3 ·0,3 0 ·0,7 20 + 2 20 1 3 ·0,3 1 ·0,7 19 + 2 20 2 3 ·0,3 2 ·0,7 18 + + 2 20 3 3 ·0,3 3 ·0,7 17 + 2 20 4 3 ·0,3 4 ·0,7 16 + 2 20 5 3 ·0,3 5 ·0,7 15 ) = 0,5836] 291. a. 0,0062 [X ist normalverteilt mit μ = 455g und σ = 2g. Gesucht ist P(X > 460) = 1 – P(X ª 460) = 1 – 0,9938 = 0,0062.] b. [452,44g; 457,56g] [Weil das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert μ = 455 liegt, muss gelten P(455 – a ª X ª 455 + a) = 0,8 oder auch P(455 – a ª X) = 0,1 und P(X ª 455 + a) = 0,9. Weil P(452,44 ª X) = 0,1 und P(X ª 457,56) = 0,9 ist, ist das Intervall [452,44g; 457,56g].] 292. a. 0,2328 [P(145 ª X ª 155) = Φ 2 155 – 160 __ 12 3 – Φ 2 145 – 160 __ 12 3 = 0,2328] b. 4,78% [P(X º 180) = 1 – Φ 2 180 – 160 __ 12 3 = 0,0478] 293. σ = 1,9411g [Weil das gegebene Intervall [220g; 230g] symmetrisch um den Erwartungswert liegt, muss μ = 225g sein. Laut Angabe gilt auch P(220 ª X ª 230) = 0,99 oder gleichwertig P(X ª 220) = 0,005. Weil daher auch Φ 2 220 – 225 __ σ 3 = 0,005 ist, muss 220 – 225 __ σ = ‒2,5758 oder σ = 1,9411g gelten.] 294. μ = 5,4; σ = 2,22 [ μ = 60·0,09 = 5,4; σ = 9 _______ 60·0,09·0,91 = 2,22] 295. a. b. ca. 20% [Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Handballerin kleiner als 165cm ist, ist F(165).] 296. a. D b. A [Die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen in a. nimmt an der Stelle 0 (= μ ) den Funktionswert 0,5 an, jene der Zufallsvariablen in b. nimmt den Funktionswert 0,5 an der Stelle 1 (= μ ) an. Daher kommt für a. nur C oder D in Frage und für b. nur A oder B . Da der Graph der Verteilungsfunktion von b. im mittleren Teil steiler ansteigt als der der Verteilungsfunktion von b. , muss die Standard- abweichung bei b. kleiner sein als bei a. ] 297. 0,1839 [Die Zufallsvariable X, die die Anzahl der defekten Leuch- ten zählt, ist binomialverteilt mit n = 620 und p = 0,02. P(X > 15) = 1 – P(X ª 15) = 1 – ; k = 0 15 2 620 k 3 ·0,02 k ·0,98 620 – k = = 1 – 0,8161 = 0,1839] 298. a. 0,0021 [Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die reserviert hat, nicht kommt, ist nach Erfahrung des Theaterbesitzers 0,05. Wir nehmen an, dass die Gäste ihre Entscheidung, nicht zu kom- men, unabhängig voneinander treffen. Dann ist die Wahrschein- lichkeit, dass alle 120 Personen zur Vorstellung kommen, 2 120 120 3 ·0,95 120 ≈ 0,0021.] b. 1,42% [Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 120 von 122 Per- sonen mit Reservierung zur Vorstellung kommen, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten, dass 122 bzw. 121 Personen kommen, also 2 122 122 3 ·0,95 122 + 2 122 121 3 ·0,95 121 ·0,05 = 0,95 122 + + 0,95 121 ·0,05·122 ≈ 0,0142.] 0,8 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 0,4 0,6 0,6 0,4 0,8 0,2 0,4 0,6 r f r r richtig f r f falsch f r f r f L L c Summe G 0,10 0,06 0,16 G c 0,27 0,57 0,84 Summe 0,37 0,63 1 x y 0,1 0,2 0,3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 2 1 0 -1 -2 -3 x y 155 150 160 165 170 175 180 185 190 195 200 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 F x y 155 150 160 165 170 175 180 185 190 195 200 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 F 200 Anhang Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv