Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

2.3 Binomialverteilung 169. C Begründung: A ist nicht binomialverteilt, denn bei einer Bino- mialverteilung muss die Zufallsvariable angeben, wie oft ein bestimmtes Ereignis eintritt. B ist nicht binomialverteilt, denn die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen auszuwählen, ändert sich bei jeder Ziehung. C ist binomialverteilt. Bei jeder der 20 Ziehungen ist die Wahrscheinlichkeit, eine blauäugige Person auszuwählen, gleich. 170. X … Anzahl der richtigen Antworten; n = 12; p = 1 _ 3 a. P(X = 12) = 0,00000188 [P(X = 12) = 2 12 12 3 · 2 1 _ 3 3 12 · 2 2 _ 3 3 0 = 1 _ 3 12 = = 0,00000188] b. P(X º 6) = ; j = 6 12 P(X = j) = 0,1777 c. P(X = 0) = 0,0077 171. a. 0,8701 [P(X º 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0,96 50 = 0,8701] b. 0,4604 [P(1 < X < 4) = P(X = 2) + P(X = 3) = = 2 50 2 3 ·0,04 2 ·0,96 48 + 2 50 3 3 ·0,04 3 ·0,96 47 = 0,4604] c. 0,0490 [P(X > 4) = 1 – P(X ª 4) = 1 – ; 0 4 2 50 k 3 ·0,04 k ·0,96 50 – k = = 0,04897] 172. X … Anzahl der Sechser; E(X) = 10; 9 ___ V(X) = 2,89 [E(X) = 60· 1 _ 6 = 10; 9 ___ V(X) = 9 ____ 60· 1 _ 6 · 5 _ 6 = 2,89] 2.4 Kontinuierliche Zufallsvariable 189. a. diskret b. kontinuierlich c. kontinuierlich d. diskret 190. a. Keine von beiden. [Ist F eine Verteilungsfunktion, dann folgt aus x < y, dass F(x) ª F(y) ist, aber nicht notwendig F(x) < F(y). Daher muss eine Verteilungsfunktion nicht streng monoton wachsend sein.] b. Verteilungsfunktion [Der Funktionswert der Verteilungsfunk­ tion an der Stelle a ist das bestimmte Integral ihrer Dichtefunk- tion von a bis a. Ein bestimmtes Integral von a bis a ist immer 0.] c. Dichtefunktion [Diese Fläche ist das bestimmte Integral der Dichtefunktion von a bis b. Dieses ist der Funktionswert der Verteilungsfunktion an der Stelle b, also 1 (siehe e. ).] d. Verteilungsfunktion [nach Definition] e. Verteilungsfunktion [Der Funktionswert der Verteilungsfunktion an der Stelle b ist P(X ª b). Dieser ist 1, weil [a; b] der Wertebereich von X ist.] 191. a. 0,4 [Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen 2 und 0,2 ist 2·0,2 = 0,4.] b. P(1 ª X ª 3) = 0,4 192. a. 0,2 [P(X ª 2) = F(2) = 0,2] b. 0,4 [P(4 ª X ª 8) = F(8) – F(4) = 0,8 – 0,4 = 0,4] 193. a. 250 Stunden [E(X) = : 0 10000 x·f(x)dx = 250] b. 250 [V(x) = : 0 10000 f(x)·(x – 250) 2 dx = 62500. σ = 9 ____ 62500 = 250] 2.5 Normalverteilung 245. Erwartungswert: μ = 6; Standardabweichung: σ = 2,5 [Das lokale Maximum ist an der Stelle 6, die Wendepunkte an den Stellen 8,5 = 6 + 2,5 und 3,5 = 6 – 2,5.] 246. 247. a. 0,3 [P(500 ª X ª 504) = F(504) – F(500) = 0,8 – 0,5 = 0,3] b. 248. X … Länge der Schraube a. 0,0013 [P(X > 38,3) = 1 – P(X ª 38,3) = 1 – Φ 2 38,3 ‒38 __ 0,1 3 = 1 – Φ (3) = = 0,0013] b. 0,1587 [P(X < 37,9) = Φ 2 37,9 ‒38 __ 0,1 3 = Φ (‒1) = 0,1587] c. 0,8186 [P(37,8 ª X ª 38,1) = P(X ª 38,1) ‒ P(X ª 37,8) = 0,8186] 249. [4906; 5494]. 95% aller Säcke enthalten zwischen 4906g und 5494g Äpfel. [Es werden die Zahlen a und b gesucht, für die gilt: P(X ª a) = 0,025 und P(X ª b) = 0,975. Mit Technologieeinsatz erhalten wir a ≈ 4906 und b ≈ 5494.] 250. a. Die Anzahl der Buben bei den 5000 Geburten ist binomialverteilt mit n = 5000 und p = 0,514. Daraus ergibt sich μ = 5000·0,514 = 2570 und σ = 9 ____________ 5000·0,514·(1 – 0,514) ≈ 35,34. Weil σ > 3 ist, darf man die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung mit μ = 2570 und σ = 35,34 approximieren. b. 0,1980 [P(X > 2600) = 1 – P(X ª 2600) = 1 – Φ 2 2600,5 – 2570 __ 35,34 3 = = 1 – Φ (0,849) = 0,1980.] Was habe ich in diesem Semester gelernt? – 9. Semester 271. Beim Würfeln erscheint immer eine der Zahlen 1 bis 6 auf der oben liegenden Seite. Würfelt man n-mal, dann ist die relative Häufigkeit der Zahl z (zwischen 1 und 6) die Anzahl a(z) der Würfe mit Ergeb- nis z dividiert durch n. Wenn sich für alle z die Zahl a(z) _ n für große n der Zahl 1 _ 6 nähert, sagt man, der Würfel ist fair und die Wahrschein- lichkeit, dass z gewürfelt wird, ist 1 _ 6 . 272. 0,0556 [Es gibt 36 mögliche Ausgänge {(1, 1), (1, 2), …, (6, 5), (6, 6)}. Davon sind 2 Ausgänge günstig, nämlich (1, 1) und (6, 6). P(E) = 2 _ 36 = 0,0556.] 273. 0,070 [Man muss zweimal hintereinander nicht gewinnen und beim dritten Mal gewinnen, daher ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit 11 _ 12 · 11 _ 12 · 1 _ 12 = 0,070.] 274. Das Ereignis zum Beispiel beim Verteilen der Karten hintereinander 3 Aktionskarten zu bekommen. 275. D 276. a. 0,8 [Jedes Kind hat genau eine Muttersprache. P(„Deutsch oder Türkisch“) = 0,65 + 0,15 = 0,80] b. 0,35 [P(nicht Deutsch) = 1 – 0,65 = 0,35] 277. a. C b. B 278. a. 0,1426 [P(„mindestens ein Schaden“) = 1 – P(kein Schaden) = = 1 – 0,95 3 = 0,1426] b. Die Prämie für die Lenkerin zwischen 30 und 35 Jahren wird niedriger sein, da das Risiko eines Schadens geringer ist als für eine Lenkerin bzw. einen Lenker zwischen 20 und 25 Jahren. 279. a. 0,784 [0,7·0,7·0,7 + 0,7·0,7·0,3 + 0,7·0,3·0,7 + 0,3·0,7·0,7 = 0,784] x 1160 1080 1000 920 840 F W 1 W 2 x y 520 510 500 490 480 0,25 0,5 0,75 1 f 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,3 0,7 0,7 0,3 0,7 0,3 0,3 0,7 p n p p p n p n n n p n p n p: Soufflé gelingt perfekt n: Soufflé gelingt nicht perfekt 199 Lösungen zu „Was habe ich gelernt?“ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv