Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich gelernt?“ 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 1.1 Was ist Stochastik? 7. a. Wasser gefriert ab 0°C. Der Zustand von Wasser bei ‒15°C ist also Eis. Der Zustand ist nicht vom Zufall gelenkt. b. Der Höhe eines Gewinns kann nicht vorhergesagt werden. Der Gewinn ist vom Zufall gelenkt. c. Es handelt sich um einen Zustand in der Vergangenheit, der fest- gestellt werden kann. Die Anzahl ist nicht vom Zufall gelenkt. d. Es handelt sich um einen Zustand in der Zukunft, der nicht vor- hergesagt werden kann. Die Anzahl ist vom Zufall gelenkt. 1.2 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 47. Grundmenge: {KKK, KKZ, KZK, KZZ, ZKK, ZKZ, ZZK, ZZZ} a. {ZZK, ZKZ, KZZ} b. {ZZK, ZKZ, KZZ, ZZZ} c. {ZZZ} d. { } 48. Sie hat nicht recht, denn nur wenn man sehr oft würfelt, wird man in ungefähr 1 _ 6 der Würfe einen Sechser würfeln. 49. a. 2 _ 9 4 Insgesamt gibt es 36mögliche Wurfergebnisse. Die Augen- summe 7 entspricht den Würfen (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Die Augensumme 11 entspricht den Würfen (5, 6), (6, 5). Die Wahrscheinlichkeit ist daher 6 _ 36 + 2 _ 36 = 8 _ 36 = 2 _ 9 . 5 b. 1 _ 9 4 Die Augensumme 2 entspricht dem Wurf (1, 1), die Augen­ summe 3 den Würfen (1, 2), (2, 1), die Augensumme 12 dem Wurf (6, 6). Die Wahrscheinlichkeit, sofort zu verlieren, ist daher 1 _ 36 + 2 _ 36 + 1 _ 36 = 4 _ 36 = 1 _ 9 . 5 50. 0,12 [P(Augensumme 8 1 kein Sechser gewürfelt) = = P(kein Sechser und Augensumme 8) _____ P(kein Sechser) = 3 _ 36 _ 25 _ 36 = 3 _ 25 = 0,12] 51. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte weibliche Person sich vegetarisch ernährt, beträgt 11%. 52. a. unabhängig, denn P(A) = P(A 1 B) = 1 _ 2 [Es gibt 36mögliche Ausgänge (siehe Grafik Seite 16). P(A) = 18 _ 36 = 1 _ 2 , P(A 1 B) = 9 _ 18 = 1 _ 2 . Also ist P(A) = P(A 1 B) und somit sind A und B unabhängig.] b. abhängig, denn P(A) = 3 _ 4 aber P(A 1 B) = 1 _ 2 4 P(A) = 27 _ 36 = 3 _ 4 , P(A 1 B) = 9 _ 18 = 1 _ 2 5 1.3 Vierfeldertafel und Baumdiagramm 75. a. b. 6% [Laut Vierfeldertafel ist P(F ° R) = 0,06.] c. P(F ° R) _ P(R) = 0,06 _ 0,11 ≈ 54,54%, das ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Angestellter, der Russisch spricht, auch Französisch spricht. 76. a. Ziehen ohne Zurücklegen, da sich die Anzahl der Kugeln von Ziehung zu Ziehung verringert. b. 10 rote und 5 blaue Kugeln c. Die Wahrscheinlichkeit, insgesamt zwei rote und eine blaue Kugel zu ziehen. d. Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine rote Kugel zu ziehen. 77. a. b. P(0 Sechser) = 0,579 [P(0 Sechser) = 5 _ 6 · 5 _ 6 · 5 _ 6 = 0,579] P(1 Sechser) = 0,347 [P(1 Sechser) = 1 _ 6 · 5 _ 6 · 5 _ 6 + 5 _ 6 · 1 _ 6 · 5 _ 6 + 5 _ 6 · 5 _ 6 · 1 _ 6 = 0,347] P(2 Sechser) = 0,069 [P(2 Sechser) = 1 _ 6 · 1 _ 6 · 5 _ 6 + 1 _ 6 · 5 _ 6 · 1 _ 6 + 5 _ 6 · 1 _ 6 · 1 _ 6 = 0,069] P(3 Sechser) = 0,005 [P(3 Sechser) = 1 _ 6 · 1 _ 6 · 1 _ 6 = 0,005] 78. 0,7879 [P(Produktionsfehler) = 0,65·0,04 + 0,35·0,02 = 0,033; P(Firma A und Produktionsfehler) = 0,65·0,04 = 0,026. Also ist P(Firma A 1 Produktionsfehler) = 0,65·0,04 ___ 0,65·0,04 + 0,35·0,02 = 0,7879.] 2 Zufallsvariable 2.1 Kombinatorik 101. 1024 Möglichkeiten [Für jede Frage gibt es 2 mögliche Antworten. Bei insgesamt 10 Fragen gibt es also 2·2·…·2 = 2 10 Möglichkeiten, die Fragen zu beantworten.] 102. 87178291200 Möglichkeiten [Eine Reihenfolge ist eine Permu­ tation von 14 Kindern. Es gibt 14! = 14·13·…·2·1 = 87178291200 solche Permutationen.] 103. 325 Möglichkeiten [Die Anzahl der Möglichkeiten, 2 aus 26 Schüler/innen auszuwählen, ist 2 26 2 3 = 26! _ 2!·24! = 325.] 2.2 Diskrete Zufallsvariable 134. B [ A und C können unter anderem deshalb nicht richtig sein, da es unmöglich ist, die Augensumme 1 zu würfeln. Daher muss P(X = 1) = 0 sein. Sowohl für die Augensumme 2 als auch für die Augensumme 12gibt es nur jeweils einen einzigen günstigen Ausgang. Daher muss P(X = 2) = P(X = 12) gelten. Das ist nur bei Diagramm B der Fall.] 135. a. 54€ 4 1 _ 50 ·1000 + 2 _ 50 ·500 + 5 _ 50 ·100 + 10 _ 50 ·20 = 54 5 b. Man kann damit rechnen, dass insgesamt ca. 500·54€ = 27000€ an Gewinnen ausgezahlt wird. 136. a. 2,572 Personen [0,12·1 + 0,39·2 + 0,31·3 + 0,16·4 + 0,018·5 + 0,002·6 = 2,572] b. 0,968 [ 9 _____________________________ (0,12·(1 – 2,572) 2 + 0,39·(2 – 2,572) 2 + 0,31·(3 – 2,572) 2 + _____ + 0,16·(4 – 2,572) 2 + 0,018·(5 – 2,572) 2 + 0,002·(6 – 2,572) 2 = = 0,968] c. Die Anzahl der Personen, die in einem gemeinsamen Haushalt leben, weicht im Durchschnitt um ca. 0,968 vom Erwartungswert ab. F F C Summe R 0,06 0,05 0,11 R C 0,3 0,59 0,89 Summe 0,36 0,64 1 1 6 1 6 1 6 5 6 1 6 5 6 1 6 5 6 1 6 5 6 5 6 1 6 5 6 5 6 S K S S S K S K K K S K S K 0,65 0,35 0,04 0,96 0,02 0,98 Firma A Produktions- fehler in Ordnung Produktions- fehler in Ordnung Firma B Anhang 198 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv