Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

16 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Beim Monopoly-Spiel wird mit zwei Spielwürfeln gewürfelt. Max hofft, eine Augensumme von mindestens 8 zu werfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis? In der graphischen Übersicht sind alle 36 möglichen Ausgänge dieses Zufallsexperimentes aufgelistet. Eine Augensumme von mindestens 8 ergibt sich in 15 Fällen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit P(Augensumme mindestens 8) = 15 _ 36 ≈ 0,417. Um die Spannung zu steigern, wirft Max seine Würfel allerdings nicht gleichzeitig, sondern hintereinander. Der erste Würfel fällt auf die Zahl 3. Ändert das etwas an der Wahrscheinlichkeit, eine Augensumme von mindestens 8 zu werfen? Ja, denn jetzt gibt es für den zweiten Würfel 6 mögliche Ausgänge, von denen 2 günstig sind (nämlich die Augenzahlen 5 und 6). Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme mindestens 8 ist, unter der Bedingung, dass der erste der beiden Würfel 3 Augen anzeigt, ist P(Augensumme mindestens 8 1 erster Würfel zeigt 3) = 2 _ 6 ≈ 0,333. Sind von dem Ausgang eines Zufallsexperimentes schon Informationen bekannt, so nennt man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die dadurch bedingte Wahrscheinlichkeit. Für zwei Ereignisse E und B ist P(E ° B) die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl das Ereignis E als auch das Ereignis B eintreten. Für zwei Ereignisse E und B mit P(B) > 0 schreiben wir P(E 1 B) für P(E ° B) __ P(B) und nennen diese Zahl die „Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist“ oder die „bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E unter der Bedingung B“ . Aus P(E 1 B) = P(E ° B) __ P(B) folgt die Multiplikationsregel P(E ° B) = P(B)·P(E 1 B) . Ist M eine Menge dann schreiben wir |M| für die Anzahl der Elemente von M. Beispiel: Ist M die Menge {2, 3, 8}, dann ist |M| = 3. In einem Laplacemodell mit Ausgangsmenge Ω ist P(E ° B) = † E ° B † _ †Ω† und P(B) = † B † _ †Ω† , also P(E 1 B) = P(E ° B) __ P(B) = † E ° B † _ † Ω † _ † B † _ † Ω † = † E ° B † _ † B † . In einem Laplacemodell ist die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E unter der Bedin- gung B (≠ { }) P(E 1 B) = † E ° B † _ † B † . 37 Ein Würfel wird geworfen. Wir bezeichnen mit A und B die folgenden Ereignisse: A = „die Augenzahl ist ungerade“ B = „die Augenzahl ist höchstens 4“ Beschreibe die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A 1 B c ) in Worten und berechne sie. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl ungerade ist, wenn bekannt ist, dass diese Augenzahl mindestens 5 (das Gegenereignis zu „höchstens 4“) ist. P(A 1 B c ) = † A ° B c † _ † B c † = | { 1, 3, 5 } ° { 5, 6 } | ___ | { 5, 6 } | = | { 5 } | _ | { 5, 6 } | = 1 _ 2 P(E ° B) bedingte Wahr- scheinlichkeit Multiplikations- regel Anzahl der Elemente einer Menge bedingte Wahrscheinlich- keit in einem Laplacemodell bedingte Wahr- scheinlichkeit berechnen A, B Wahrscheinlichkeitsrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv