Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

14 Additionsregel für einander ausschließende Ereignisse und Gegenereignis Daniela und Armin spielen ein Würfelspiel mit einem Würfel. Daniela muss eine Zahl kleiner als 4 oder eine ungerade Zahl würfeln. Armin benötigt entweder einen Einser oder eine gerade Zahl. Wer hat die größere Wahrscheinlichkeit, eine für ihn günstige Zahl zu würfeln? Für Daniela sind die Ereignisse A = {1, 2, 3} („Zahl kleiner als 4“) und B = {1, 3, 5} („ungerade Zahl“) günstig, für Armin die Ereignisse E = {1} („Einser“) und F = {2, 4, 6} („gerade Zahl“). Auf den ersten Blick sieht es so aus, als ob die Wahrscheinlichkeit, eine für sie günstige Zahl zu würfeln, für Daniela größer wäre, denn die Ereignisse A und B haben 3 und 3 günstige Ausgänge, während E und F nur 1 und 3 günstige Ausgänge haben. Der Schein trügt jedoch, denn die Zahlen 1 und 3 sind sowohl kleiner als 4, als auch ungerade. Die Menge der für Daniela günstigen Ausgänge ist A ± B = {1, 2, 3} ± {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 5} und P(A ± B) = 4 _ 6 . Die Ereignisse E („Einser“) und F („gerade Zahl“) haben hingegen keine gemeinsamen Elemente. Man sagt auch, E und F schließen einander aus . Die Menge der für Armin günstigen Ausgänge ist E ± F = {1} ± {2, 4, 6} = {1, 2, 4, 6} und P(E ± F) = 4 _ 6 . In diesem Fall gilt auch P(E ± F) = P(E) + P(F) = 1 _ 6 + 3 _ 6 = 4 _ 6 . P(E ± F) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis E oder das Ereignis F eintritt. Falls E und F keine gemeinsamen Elemente haben, also E ° F = { } ist, gilt die Additionsregel für einander ausschließende Ereignisse P(E ± F) = P(E) + P(F) . Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E bezeichnen wir mit P(E). Wie groß ist dann die Wahr- scheinlichkeit des Ereignisses „E tritt nicht ein“, also von Ω\E? Wir schreiben für das Ereignis „E tritt nicht ein“ kurz E C und sagen zu E C auch Gegenereignis oder Komplementärereignis zu E. E kann nicht gleichzeitig eintreten und nicht eintreten, daher schließen E und E C einander aus. Da es keine andere Möglichkeit gibt, als dass E entweder eintritt oder nicht, gilt E c ± E = Ω . Da P( Ω ) = 1 ist, ist P(E c ± E) = P(E c ) + P(E) = 1, also P(E c ) = 1 – P(E). Oft ist es einfacher, anstelle der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E die Wahrscheinlichkeit seines Gegenereignisses oder Komplementärereignisses E c = Ω \E (sprich „E komplementär“) zu berechnen. Dabei ist P(E c ) = 1 – P(E) . 30 Entscheide, ob die Ereignisse E und F einander ausschließen oder nicht, und begründe deine Entscheidung. a. Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt. E = „Beide Würfel zeigen die gleiche Zahl“; F = „die Augensumme ist ungerade“ b. Aus 20 Losen mit den Nummern 1 bis 20 wird zufällig eines gezogen. E = „Die Nummer ist durch 3 teilbar“; F = „Die Nummer ist durch 4 teilbar“ c. Aus 30 Losen mit den Nummern 1 bis 30 wird zufällig eines gezogen. E = „Die Nummer ist durch 5 teilbar“; F = „Die Nummer ist durch 7 teilbar“ d. Aus allen Schülerinnen und Schülern einer großen Schule wird zufällig eine Person ausgewählt. E = „Die Person hat in Mathematik die Note Sehr gut“; F = „Die Person hat in Deutsch die Note Sehr gut“. P(E ± F) Additionsregel Gegenereignis Komplementär- ereignis D , Wahrscheinlichkeitsrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum e Verlags öbv