Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

114 Die Tangente an den Funktionsgraphen einer differenzierbaren Funktion f an der Stelle a ist der Graph der linearen Funktion t mit t(x) = f(a) + f’(a)·(x – a). f: R ¥ R ; g: R ¥ R ; f, g differenzierbar; c * R Summenregel (f + g)’ = f’ + g’ und (f – g)’ = f’ – g’ Faktorregel (c·g)’ = c·g’ Produktregel (f·g)’ = f’·g + f·g’ Quotientenregel 2 f _ g 3 ’ = f’·g – f·g’ __ g 2 Kettenregel (f ° g)’ = (f’ ° g)·g’, also: für alle x ist (f ° g)’(x) = f’(g(x))·g’(x) f f’ f f’ c * R f(x) = c f’(x) = 0 x > 0; a > 0 f(x) = log a (x) f’(x) = 1 _ ln(a)·x n * R f(x) = x n f’(x) = n·x n – 1 f(x) = sin(x) f’(x) = cos(x) f(x) = e x f’(x) = e x f(x) = cos(x) f’(x) = ‒ sin(x) a > 0 f(x) = a x f’(x) = ln(a)·a x f(x) = tan(x) f’(x) = 1 _ cos 2 (x) x > 0 f(x) = ln(x) f’(x) = 1 _ x Integralrechnung Eine Funktion F, deren Ableitung f ist (F’ = f) heißt Stammfunktion von f. Schreibweise: : f(x) dx = F Ist F eine Stammfunktion von f und ist deren Definitionsbereich ein Intervall oder ganz R , dann erhält man alle Stammfunktionen von f durch Addition von konstanten Funktionen zu F. f: R ¥ R ; g: R ¥ R ; f und g haben Stammfunktionen; c * R Summenregel : (f + g)(x) dx = : f(x) dx + : g(x) dx : (f – g)(x) dx = : f(x) dx – : g(x) dx Faktorregel : (c·f)(x) dx = c· : f(x)dx Tangente Differentiations- regeln Ableitungen spezieller Funktionen Stammfunktion Integrations- regeln Vorbereitung auf die Reife- und Diplomprüfung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv