Mathematik anwenden HUM 5, Schulbuch

112 400 Ein Kredit über 25000€ soll bei einem Zinssatz von 2,48% p.s. innerhalb von 10 Jahren durch nachschüssige Monatsraten getilgt werden. a. Berechne die Höhe dieser Raten. b. Nach 2 Jahren setzt man für 5 Monate mit den Rückzahlungen aus. Die Bank erhöht dafür im Anschluss an die Zahlungspause den Zinssatz auf 6,25% p.a. Berechne die neue Ratenhöhe, wenn der Kredit in der ursprünglich vereinbarten Zeitspanne zurückgezahlt werden soll. B_W_3.5  Ich kann geeignete Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (linear, exponentiell,  beschränkt, logistisch) aufstellen, mit den zugehörigen Funktionen Berechnungen durchführen  und sie graphisch darstellen. Ich kann Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse interpretieren und  im Kontext argumentieren. 401 Die Downloadzahlen eines Freeware-Computerprogramms betragen 1 Woche nach dem Erscheinen 6000 Stück und 2 Wochen nach dem Erscheinen bereits 15000 Stück. a. Erkläre, woran man erkennt, dass die Downloadzahlen im beobachteten Zeitraum nicht linear wachsen. b. Ermittle die Funktion f, die jedem Zeitpunkt von t Wochen nach Erscheinen des Programms die Anzahl der Downloads f(t) zuordnet, wenn man voraussetzt, dass die Anzahl der Down- loads exponentiell wächst. c. Man nimmt aufgrund der Verbreitung ähnlicher Programme an, dass die maximale Down- loadzahl bei ca. 1,5 Millionen liegt. Ermittle die logistische Wachstumsfunktion, die jedem Zeitpunkt von t Wochen nach Erscheinen des Programms die Anzahl der Downloads zuordnet. d. Die logistische Wachstumsfunktion lautet näherungsweise N(t) = 1500000 __ 1 + 626·0,4 t . Berechne damit, in der wievielten Woche nach dem Erscheinen der millionste Download zu erwarten ist. 402 Die Verkaufszahlen eines neuen Produkts innerhalb der ersten t Tage nach Erscheinen werden durch die Funktion V mit V(t) = K·(1 – c·a t ) beschrieben. a. Gib an, ob die Verkaufszahlen linear, beschränkt, logistisch oder exponentiell wachsen. b. Für die Zeitpunkte t = 0, 1 und 2 hat man beobachtet: V(0) = 0, V(1) = 2000, V(2) = 3600. Ermittle die Parameter K, c und a der Funktion V. Welche Bedeutung hat die Zahl K? 403 Frau Eichinger pflanzt in ihrem Garten eine 25 cm hohe Lilie. Nach 3 Tagen ist sie bereits 34 cm hoch, eine Woche nach dem Einpflanzen 46 cm. a. Argumentiere, ob das Wachstum der Lilie in der ersten Woche linear oder exponentiell war. b. Stelle die Wachstumsfunktion h auf, die die Höhe der Pflanze nach t Tagen modelliert. c. Berechne die Höhe der Lilie nach 2 Wochen. d. Erkläre, warum weder ein lineares noch ein exponentielles Modell das Wachstum der Lilie auf längere Sicht richtig beschreiben kann. 404 Das Höhenwachstum einer Grasart wird durch die Funktion h mit h(t) = 120 __ 1 + 90·0,4 t beschrieben. Dabei ist t die Zeit in Wochen und h(t) die Höhe einer Pflanze in Zentimeter nach t Wochen. a. Zeichne den Graphen der Funktion h in das Diagramm. b. Lies aus dem Diagramm ab, welche Höhe eine Pflanze nach 4 Wochen erreicht hat. c. Lies aus dem Diagramm ab, wie lange es ca. dauert, bis eine Pflanze die maximale Höhe erreicht hat. A, B A, B, D B, C A, B, D B, C t in Wochen h(t) in cm 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 80 100 120 140 0 40 60 Vorbereitung auf die Reife- und Diplomprüfung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv