Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

94 323 Bestimme mithilfe der in Aufgabe 321 a. vorgestellten Methode aus dem Graphen von K v das Betriebsminimum. a. b. 324 Bestimme mithilfe der in Aufgabe 321 b. vorgestellten Methode aus dem Graphen von K das Betriebsminimum. a. b. Umkehraufgaben zu Kostenfunktionen Ein Betrieb hat sich auf die Produktion von Hüpfburgen spezialisiert. Seine monatlichen Fixkosten betragen 36000€. Bei einer (monatlichen) Produktion von 100 Stück betragen die Gesamtkosten 53000€, die Grenzkosten 170€/Stück. Bei einer Produktion von 200 Stück betragen die Stückkosten 360€/Stück. Wir nehmen an, dass die Kostenfunktion eine Polynom­ funktion mit Grad 3 ist. Ist es möglich, diese Kosten­ funktion anhand der bekannten Daten zu ermitteln? Wir überlegen uns: Eine Polynomfunktion K mit Grad 3 ist mit den Koeffizienten a, b, c, d durch K(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, gegeben. Diese Koeffizienten müssen wir berechnen. Aus den bekannten Daten erhalten wir folgende Gleichungen: I) K(0) = 36000, da die Fixkosten 36000€ betragen. II) K(100) = 53000, da die Produktion von 100 Stück Kosten in der Höhe von 53000€ verursacht. III) K’(100) = 170, da in diesem Fall die Grenzkosten 170€/Stück betragen. IV) ​ _ K​(200) = 360, da die Stückkosten bei einer Produktion von 200 Stück 360€/Stück betragen. Aus K(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d erhalten wir K’(x) = 3ax 2 + 2bx + c und ​ _ K​(x) = ax 2 + bx + c + dx ‒1 . Dadurch werden die Gleichungen I – IV zum linearen Gleichungssystem I) d    = 36000 II) a·100 3 +  b·100 2 + c·100 + d   = 53000 III) 3a·100 2 + 2b·100 + c           = 170 IV) a·200 2 +   b·200   + c     + d·200 ‒1 = 360 Dieses Gleichungssystem hat die Lösung a = 0,001, b = ‒0,2, c = 180, d = 36000. Somit ist die gesuchte Kostenfunktion K mit K(x) = 0,001x 3 – 0,2x 2 + 180x + 36000. , C x in ME K V (x) in GE 0 1500 3000 4500 6000 7500 9000 50 40 60 70 80 30 20 10 0 K V x in ME K V (x) in GE 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 25 20 30 35 40 15 10 5 0 K V , C x in ME K(x) in GE 0 1500 3000 4500 6000 7500 9000 50 40 60 70 80 30 20 10 0 K x in ME K(x) in GE 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 25 20 30 35 40 15 10 5 0 K Kostenund Preistheorie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv