Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

92 Variable Kosten und Betriebsminimum Nur selten stellen Unternehmen nur ein einziges Produkt her. Auch der von uns bereits betrachtete Kugelschreiberproduzent produziert unterschiedliche Kugelschreibermodelle. Da die Produktion dieser unterschiedlichen Modelle aber im selben Gebäude, mit denselben Maschinen und unter der Aufsicht derselben Angestellten erfolgt, ist es schwer möglich, die Fixkosten einem bestimmten Modell zuzuordnen. In so einem Fall ist es mitunter üblich, bei der Analyse der Kosten die Fixkosten zunächst außer Acht zu lassen. Die verbleibenden Kosten werden dann variable Kosten genannt. Bei welcher Produktionsmenge sind die variablen Kosten pro Mengeneinheit – die sogenannten variablen Durchschnittskosten – am geringsten? In unserem Beispiel ist die Kostenfunktion K mit K(x) = 0,1x 3 – 4,6x 2 + 224x + 1 600, wobei die Fixkosten K(0) = 1 600GE betragen. Lässt man die Fixkosten weg, so erhält man zunächst die variable Kosten funktion K v mit K v (x) = 0,1x 3 – 4,6x 2 + 224x. Daraus ergibt sich die variable Durchschnittskostenfunktion _ K v mit _ K v (x)=   K v (x) _ x  =   0,1x 3 – 4,6x 2 + 224x ___ x  = 0,1x 2 – 4,6x + 224. Ihr Graph hat den Tiefpunkt (23 1 171,1). Daher erhält man die minimalen variablen Durchschnitts kosten von 171,1GE/ME bei einer Produktion von 23ME. Um zu betonen, dass in der Kostenberechnung auch die Fixkosten berücksichtigt wurden, sagt man anstelle von „Kosten“ manchmal auch „ Gesamtkosten “. Die Differenz der Gesamtkosten und der Fixkosten nennt man variable Kosten . Die variable Kostenfunktion ist K v mit K v (x) = K(x) – K(0) . Wir nennen für x > 0 _ K v (x) =   K v (x) _ x  die durchschnittlichen variablen Kosten bei der Produktion von xME. _ K v (x) wird in GE/ME ange geben. Man spricht auch von variablen Durchschnittskosten oder variablen Stückkosten . Die Minimumstelle der Funktion _ K v gibt die Produktionsmenge an, bei der die durchschnittlichen variablen Kosten minimal sind. Diese Minimumstelle nennt man Betriebsminimum . Wir haben bereits gelernt, dass im Betriebsoptimum die Stückkosten und die Grenzkosten übereinstimmen. Gibt es einen ähnlichen Zusammenhang auch für das Betriebsminimum? Wir leiten die Funktion _ K v mithilfe der Quotientenregel ab. Für alle x > 0 ist _ K v ’(x) =   K v ’(x)·x – K v (x) _ x 2 =   K v ’(x) _ x  –   K v (x) _ x 2 =   1 _ x (K v ’(x) – _ K v (x)) Wenn _ K v ’(x BM ) = 0 ist, dann ist   1 _  x BM · 2 K’(x BM ) ‒ _ K v (x BM )  3 = 0, also K’(x BM ) = _ K v (x BM ). Daher stimmen im Betriebsminimum die variablen Stückkosten und die Grenzkosten überein. x in ME K V in GE/ME 10 0 20 30 50 40 0 100 50 150 250 200 K V (23 1 171,1) Gesamtkosten variable Kosten durchschnittliche variable Kosten Betriebs minimum Kostenund Preistheorie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv