Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

90 310 Wie verhalten sich Grenzkosten und Stückkosten bei linearen Kostenfunktionen? Versucht zunächst durch Argumentieren auf einen Zusammenhang zu kommen und haltet eure Vermutungen schriftlich fest. Kontrolliert anschließend eure Vermutungen mithilfe einer geeig neten Technologie, in dem ihr die Koeffizienten a und b der linearen Kostenfunktion K mit K(x) = ax + b durch Schieberegler variabel gestaltet und die Graphen von K’ und _ Kgraphisch darstellt. Korrigiert gegebenenfalls eure anfänglichen Vermutungen. 311 Betrachte die Kostenfunktion K mit K(x) = 0,9x 3 – 8x 2 + 800x + 1000. a. Stelle die Graphen von K, K’ und _ Kin einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. b. Bestimme den Schnittpunkt der Graphen von K’ und _ K. c. Berechne das Betriebsoptimum x BO und die Durchschnittskosten im Betriebsoptimum. d. Zeichne an der Stelle x BO die Tangente an den Graphen der Kostenfunktion. e. Welche Steigung hat diese Tangente und an welcher Stelle schneidet ihr Graph die yAchse? f. Vergleiche die Ergebnisse aus den Aufgaben b. – e. und dokumentiere deine Beobachtungen. Graphisches Ermitteln des Betriebsoptimums Wir haben in Beispielen gesehen, dass im Betriebsoptimum die Durchschnittsund Grenzkosten immer übereinstimmen. Das ist kein Zufall, denn: Für alle x > 0 ist _ K (x) =   K(x) _ x  , daher ergibt die Quotientenregel _ K ’(x) =   K’(x)·x – K(x) __ x 2 . Wenn _ K ’(x) = 0 ist, muss daher auch K’(x)·x – K(x) = 0 sein. Daher folgt aus _ K ’(x BO ) = 0, dass K’(x BO )·x BO = K(x BO ) ist, also K’(x BO ) =   K(x BO ) _ x BO = _ K (x BO ) . Im Betriebsoptimum sind die Durchschnittskosten und Grenzkosten gleich: K’(x BO ) = _ K (x BO ) =   K(x BO ) _ x BO   Die Steigung der Tangente von K an der Stelle x BO ist daher   K(x BO ) _ x BO  , also die Steigung der Geraden durch (0 1 0) und (x BO 1 K(x BO )). Damit können wir das Betriebsoptimum auch graphisch bestimmen. Um das Betriebsoptimum graphisch zu bestimmen, zeichnen wir die Gerade ein, die durch den Ursprung geht und eine Tangente der Kostenfunktion ist. Der Berührpunkt ist der Punkt (x BO 1 K(x BO )). Tipp Die Eigenschaft, dass im Betriebsoptimum Grenzkosten und Durchschnittskosten überein stimmen, kann man auch nutzen, um das Betriebsoptimum zu berechnen, indem man den Schnittpunkt der Graphen der Grenzkosten und der Durchschnittskostenfunktion bestimmt. B, D ; B, C ; x in ME K‘(x) in GE, K in GE/ME 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 20 16 12 8 4 18 14 10 6 20 K K’ BO K’(x BO ) = _ K (x BO ) x (x BO 1 K (x BO ) ) x BO K(x) Betriebs optimum graphisch bestimmen Kostenund Preistheorie Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv