Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

9 9 Argumentiere mithilfe des Funktionsgraphen, ob die Funktion f: R \{a} ¥ R mit f(x) = {    2x + 1 x    , wenn , wenn   x < a x > a für a. a = 1, b. a = ‒1 an der Stelle a einen Grenzwert hat und, wenn ja, ermittle diesen. 10 Argumentiere mithilfe des Graphen der Funktion, ob die Funktion f: R \{a} ¥ R an der Stelle a einen Grenzwert hat und, wenn ja, ermittle diesen. a. f(x) =   3 _  x – 1 , a = 1 b. f(x) =   x 2 + 5x + 6 __  x + 3  , a = ‒ 3 a. Wir betrachten den Graphen von f. An der Stelle 1 kann man diesen nicht in einem Zug zeichnen, ein Grenzwert existiert dort also nicht. (Wenn für eine natürliche Zahl n und eine reelle Zahl x gilt: † x – 1 † <   1 _  n , dann ist |    3 _  x – 1  | > 3n. Daher wird † f(x) † in der Nähe von 1 beliebig groß, also existiert der Grenzwert von f(x) für x gegen a nicht.) b. Der Graph legt nahe, dass ein Grenzwert von f an der Stelle ‒3 existiert und ungefähr ‒1 ist. Die Lösungen der Gleichung x 2 + 5x + 6 = 0 sind ‒ 2 und ‒ 3, daher ist x 2 + 5x + 6 = (x – (‒ 2))(x – (‒ 3)) = (x + 2)(x + 3). Durch Ausmultiplizieren kannst du dich leicht davon überzeugen. Daher ist f(x) =   x 2 + 5x + 6 __  x + 3  =   (x + 2)(x + 3) __ x + 3  = x + 2. Somit ist lim     x ¥ ‒3 f(x) = lim    x ¥ ‒3 (x + 2) = ‒3 + 2 = ‒1. 11 Argumentiere mithilfe des Graphen der Funktion, ob die Funktion f: R \{a} ¥ R an der Stelle a einen Grenzwert hat, und wenn ja, berechne diesen. a. f(x) =   3 _  x – 4 , a = 4 b. f(x) =   x 2 – 2x – 3 __ x + 1  , a = ‒1 12 Betrachte die Funktion f: R \{0} ¥ R mit f(x) =   e x – 1 _ x  . Berechne f 2    1 _  10   3 , f 2    1 _  100   3 , f 2    1 _  1000  3 und f 2    1 _  2000   3 . Stelle eine Vermutung auf, was der Grenzwert von f für x gegen 0 ist. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich habe die Begriffe „Stetigkeit“ und „Grenzwert“ von Funktionen intuitiv erfasst und ich kann damit argumentieren. 13 Kreuze an, welche der Funktionen im abgebildeten Intervall stetig sind. Sollte eine Funktion an einer Stelle nicht stetig sein, gib an, an welcher Stelle. A B C D x y 0 1 2 1 3 4 1 1 2 3 4 5 x y 0 1 2 1 3 4 1 1 2 3 4 5 x y 0 1 2 1 3 4 1 1 2 3 4 5 x y 0 1 2 1 3 4 1 2 4 6 8 10 14 Argumentiere mithilfe des Graphen der Funktion, ob die Funktion f: R \{a} ¥ R an der Stelle a einen Grenzwert hat, und wenn ja, berechne diesen. a. f(x) =   2 _  x + 1 , a = ‒1 b. f(x) =   x 2 + x – 2 __ x – 1  , a = 1 C, D , mithilfe des Funktions graphen den Grenzwert einer Funktion argumentieren C, D x y 0 1 2 1 2 3 40 20 20 40 f x y 0 1 2 3 4 1 2 1 1 2 f C, D ; B, C ; C B, C, D 1.1 Stetige Funktionen und Grenzwerte von Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv