Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

89 305 Ein Betrieb hat die Kostenfunktion K mit K(x) = 0,005x 3 – 0,4x 2 + 12x + 64000. a. Gib die Durchschnittskostenfunktion _ Kan und ermittle das Betriebsoptimum. b. Bestimme die Durchschnittskosten im Betriebsoptimum. c. Berechne die Grenzkosten im Betriebsoptimum. a. Die Durchschnittskosten bei der Produktion von xME betragen _ K (x) =   K(x) _ x  =   0,005x 3 ‒ 0,4x 2 + 12x + 64000 ____ x  = 0,005x 2 – 0,4x + 12 + 64000x ‒1 GE/ME. Wir leiten _ Kab und erhalten _ K ’(x) = 0,01x – 0,4 – 64000x ‒2 . Für das Betriebsoptimum x BO muss _ K ’(x BO ) = 0 sein, also 0,01x BO   – 0,4 – 64000x BO   ‒2  = 0 sein. Diese Gleichung hat genau eine reelle Lösung, nämlich x BO = 200. Das Betriebsoptimum liegt bei 200ME. b. _ K (200) = 0,005·200 2 – 0,4·200 + 12 + 64000·200 ‒1 = 452GE/ME c. K’(200) = 0,015·200 2 – 0,8·200 + 12 = 452GE/ME Wie du siehst, sind hier im Betriebsoptimum die Durchschnittskosten und Grenzkosten gleich. Im nächsten Abschnitt werden wir sehen, dass das immer der Fall ist. 306 Die Produktionskosten eines Betriebes werden durch die ertragsgesetzliche Kostenfunktion K mit K(x) = 0,04x 3 – 2,4x 2 + 71x + 490 beschrieben. a. Gib die Durchschnittskostenfunktion _ Kan und berechne das Betriebsoptimum. b. Berechne die Durchschnittskosten im Betriebsoptimum. c. Berechne die Grenzkosten im Betriebsoptimum. 307 Ein Betrieb hat eine Kostenfunktion K mit K(x) = 0,005x 3 – 0,7x 2 + 40x + 15000. a. Bestimme die Durchschnittskostenfunktion und zeichne ihren Graphen über dem Intervall [0; 200]. b. Ermittle aus der Zeichnung das Betriebsoptimum und gib die minimalen Durchschnittskosten an. 308 Ein Betrieb hat die Kostenfunktion K mit K(x) = 0,08x 3 – 2,4x 2 + 65x + 2160. a. Berechne die Kostenkehre. b. Ermittle das Betriebsoptimum. c. Gib die Durchschnittskosten im Betriebsoptimum an. d. Berechne die Grenzkosten im Betriebsoptimum. e. Ermittle die Durchschnittskosten in der Kostenkehre. f. Gib die Grenzkosten in der Kostenkehre an. 309 Ein kleines Unternehmen hat sich auf die Herstellung von EBikes spezialisiert. Die monatlichen Produktions kosten in Euro für x Stück dieser EBikes werden durch die Kostenfunktion K mit K(x) = 0,005x 3 – 1,35x 2 + 1 900x + 6400 beschrieben. a. Berechne, bei welcher Produktionsmenge die Stückkosten minimal sind. b. Die Differenz aus Verkaufspreis und Stückkosten bezeichnet man als Stückgewinn. Berechne den Stückgewinn, den man erzielt, wenn man die in Aufgabe a. berechnete Menge produziert und die EBikes um je 2498€ verkauft. B Betriebsoptimum, Durchschnitts und Grenzkosten berechnen ggb/tns 4i69ud B , B , , B B , 3.1 Kostentheorie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv