Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

88 304 Ein junges StartupUnternehmen möchte Biolimonade produzieren. Ein Unternehmensberater hat die Kosten des StartupUnternehmens analysiert und eine voraussichtliche Kostenfunktion K mit K(x) = 0,0002x 3 – 0,04x 2 + 4,6333x + 400 bestimmt. a. Zeichne den Graphen der Kostenfunktion. b. Kennzeichne im Graphen der Kostenfunktion den degressiven und den progressiven Bereich. c. Bestimme die Grenzkostenfunktion und zeichne ihren Graphen. d. Bestimme die Kostenkehre und kennzeichne sie jeweils im Graphen der Kostenfunktion und der Grenzkostenfunktion. Durchschnittskosten und Betriebsoptimum Kehren wir noch einmal zur Produktion der Kugelschreiber zurück. Die Kosten für die Produktion von xME sind K(x) = 0,1x 3 – 4,6x 2 + 224x + 1 600 (in GE). Dabei steht 1ME für 1 000 Kugelschreiber und 1GE für 1€. Die Geschäftsleitung überlegt, bei welcher Produktionsmenge die Kosten pro produziertem Kugelschreiber am niedrigsten sind. Um das herauszufinden, betrachten wir die Funktion _ Kmit _ K(x)=   K(x) _ x  . Diese Funktion wird Durchschnittskostenfunktion genannt, weil sie für eine Produktion von xME die durchschnittlichen Kosten für 1ME angibt. In unserem Fall ist _ K(x)=   0,1x 3 – 4,6x 2 + 224x + 1600 ____ x  = 0,1x 2 – 4,6x + 224 + 1 600x ‒1 . Am Funktionsgraphen von _ Kerkennen wir, dass die Durchschnittskostenfunktion ein lokales Minimum besitzt. Es ist die Lösung der Gleichung _ K’(x)= 0, also 31,2ME. Man sagt, das Betriebsoptimum liegt bei einer Produktion von 31,2ME. Hier betragen die minimalen Durchschnittskosten _ K(31,2) = 229,11GE/ME. Und da 1ME = 1 000 Stück ist, kann man auch sagen, im Betriebsoptimum betragen die Stückkosten   229,11€ __  1000 Stück ≈ 0,229€/Stück. Billiger kann dieser Betrieb die Kugelschreiber nicht produzieren. Wenn für die Produktion von xME Gesamtkosten von K(x) GE anfallen, dann sind _ K(x) =   K(x) _ x  die Kosten dieser Produktion pro Mengeneinheit. Man nennt _ K(x) daher die Durchschnittskosten bei der Produktion von xME. Handelt es sich bei den betrachteten Mengeneinheiten um Stück, so werden die Durchschnittskosten auch Stückkosten genannt. Die Durchschnittskosten werden in Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME) angegeben. Eine Minimumstelle der Durchschnittskostenfunktion _ Kheißt Betriebsoptimum und wird mit x BO bezeichnet. Bei der Produktion von x BO ME fallen die geringsten Kosten pro ME an. Es muss _ K’(x BO ) = 0 sein. Achtung Die Definition von Durchschnittskosten und Grenzkosten klingen im ersten Augenblick recht ähnlich. Aber während die Grenzkosten angeben, wie viel bei der aktuellen Produktionsmenge ein zusätzlich produziertes Stück kosten würde, geben die Durchschnittskosten die Kosten für jedes einzelne bereits produzierte Stück an. Die Durchschnittskosten berücksichtigen auch die Fixkosten, die Grenzkosten sind hingegen von den Fixkosten unabhängig. , B, C x in ME K(x) in GE/ME 10 0 20 30 50 60 40 0 200 400 600 800 1000 K Durchschnitts kosten Stückkosten Betriebs optimum Kostenund Preistheorie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv