Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

86 Grenzkosten Eine Firma produziert Kugelschreiber. Der Kostenverlauf lässt sich durch die Funktion K mit K(x) = 0,1x 3 – 4,6x 2 + 224x + 1 600 beschreiben. Dabei steht 1ME für 1 000 Kugelschreiber und 1GE für 1€. Derzeit werden 20ME produziert. Wie groß sind die zusätzlichen Kosten, wenn man die Produktion um 1ME steigert? Die Kosten für die zusätzliche Mengeneinheit sind K(21) – K(20) = 5201,5GE – 5040GE = 161,5GE. Die Kosten steigen um 161,5GE für 1ME. Die Kosten steigerung wird daher auch als 161,5GE/ME angegeben. Da 1ME 1 000 Stück Kugelschreiber entspricht, kostet ein zusätzlich produzierter Kugelschreiber   161,5 _ 1000 GE, also 0,1615€. Was aber, wenn man die Produktion nur um einen einzigen Kugelschreiber erhöht? Da die Produktion um   1 _  1000 ME erhöht wird, berechnen wir diesmal K(20,001) – K(20) = 5040,1600014GE – 5040GE = 0,1600014GE. Die zusätzlich anfallenden Kosten betragen also 0,16€. Umgerechnet sind das 160GE/ME. Sehen wir uns die beiden Rechnungen noch einmal an. Wir hätten sie auch so durchführen können:   K(21) – K(20) __ 21 – 20  =   5201,5GE – 5040GE ___ 1ME  = 161,5GE/ME   K(20,001) – K(20) ___ 20,001 – 20  =   5040,1600014GE – 5040GE ____  0,001ME = 160,0014GE/ME ≈ 160GE/ME Wir haben also beide Male einen Differenzenquotient berechnet. Berechnen wir stattdessen den Differentialquotienten, also K’(20), so erhalten wir mit K’(x) = 0,3x 2 – 9,2x + 224 K’(20) = 160GE/ME. Diese Rechnung erfordert wesentlich weniger Rechenaufwand und liefert fast das gleiche Ergebnis wie die Rechnungen zuvor. Die Funktion K’ nennt man auch Grenzkostenfunktion und sagt, die Grenzkosten bei einer Produktion von 20ME betragen 160GE/ME. Die Ableitung K’ der Kostenfunktion K wird Grenzkostenfunktion genannt. Den Funktionswert K’(x) nennt man die Grenzkosten bei einer Produktion von xME. Die Grenzkosten werden in Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME) angegeben. Die Grenzkosten beschreiben (ungefähr) den Kostenzuwachs für eine zusätzlich produzierte ME. Es gilt: Ist die Grenzkostenfunktion konstant, so ist die Kostenfunktion linear. Nehmen die Grenzkosten bei steigender Produktion zu, so wachsen die Kosten progressiv. Nehmen die Grenzkosten bei steigender Produktion ab, so wachsen die Kosten degressiv. 297 Ein Betrieb hat die Kostenfunktion K mit K(x) = x 3 – 18x 2 + 120x + 300. Zurzeit produziert der Betrieb 10ME. a. Berechne die Kosten für eine zusätzlich produzierte Mengeneinheit exakt. b. Berechne die Kosten für eine zusätzlich produzierte Mengeneinheit näherungsweise mithilfe der Grenzkostenfunktion. c. Argumentiere mithilfe der Differentialrechnung, ob die Kosten bei einer Produktion von 10ME degressiv oder progressiv wachsen. a. Die Kosten für eine zusätzlich produzierte Mengeneinheit betragen K(11) – K(10) = 773 – 700 = 73GE. b. Die Grenzkostenfunktion ist K’ mit K’(x) = 3x 2 – 36x + 120. K’(10) = 60GE/ME Eine zusätzlich produzierte ME kostet daher ca. 60€. c. Es ist K’’(x) = 6x – 36. Daraus erhalten wir K’’(10) = 24 > 0. Da K’’(10) > 0 ist, ist K’ an der Stelle 10monoton wachsend und K an der Stelle 10 linksgekrümmt. Daher wachsen die Kosten bei einer Produktion von 10ME progressiv. Grenzkosten Grenzkosten berechnen B, D Kostenund Preistheorie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv